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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 细心整理 欢迎下载二项式定理1二项式定理：abn0 C an1 C an1 br C an rbrn C bnnN,2基本概念：二项式绽开式：右边的多项式叫做abn的二项绽开式；T r1r C an rr b 表示；二项式系数 : 绽开式中各项的系数Cr nr0,1,2, n . 项数：共 r1项,是关于 a 与 b 的齐次多项式通项：绽开式中的第r1项r C anrr b 叫做二项式绽开式的通项；用3留意关键点：项数：绽开式中总共有 n 1 项；次序：留意正确挑选 a , b , 其次序不能更换； a b n与 b a n是不同的；指数： a
2、 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列； b 的指数从 0逐项减到 n ,是升幂排列； 各项的次数和等于 n . 0 1 2 r n系数：留意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是 C n , C n , C n , , C n , , C n . 项的系数是 a 与 b的系数（包括二项式系数）；4常用的结论：令a1, bx ,1xnC0 n1 C x2 C x2r C xrn C xnnnNN令a1, bx1xnC0 n1 C x2 C x2r C xrn 1n C xn5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“ 对距离” 的两个二项式系数相等,即C0Cn, CkCk1nnnn二项
3、式系数和：令ab1, 就二项式系数的和为C0 nC1 nC2 nCr nCn nn 2,变形式C1C2CrCn2n1；nnnn1 1n0,奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令a1, b1,就C01 C nC2C3n 1Cnnnnn从而得到：0 C nC2C4C2rC1C3C2r112nn 21nnnnnn2奇数项的系数和与偶数项的系数和：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 细心整理 欢迎下载n 0 n 0 1 n 1 2 n 2 2 n 0 n 1 2 n a x C a x n C a n
4、x C a n x C a x n a 0 a x 1 a x 2 a x nn 0 0 n 1 n 1 2 2 n 2 n n 0 n 2 1 x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a 0令 x 1, 就 a 0 a 1 a 2 a 3 a n a 1 n 令 x 1, 就 a 0 a 1 a 2 a 3 a n a 1 n n n 得 , a 0 a 2 a 4 a n a 1 a 1 奇数项的系数和 2n n 得 , a 1 a 3 a 5 a n a 1 a 1 偶数项的系数和 2n二项式系数的最大项：假如二项式的幂指数 n 是偶数时,就中间一项
5、的二项式系数 C n 2 取得最大值；n 1 n 1假如二项式的幂指数 n 是奇数时, 就中间两项的二项式系数 C n 2 , C n 2 同时取得最大值；系数的最大项：求 a bx n绽开式中最大的项,一般采纳待定系数法；设绽开式中各项系数分别A r 1 A r为 A 1 , A 2 , , A n 1,设第 r 1 项系数最大,应有,从而解出 r 来；A r 1 A r 26二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例：C1 nC2 n6C3 n2 6Cn n6n1 .13n1第 2 页,共 7 页解：16nC0C162 C n62C363Cn6n与已知的有一些差距,nnnn
6、C12 C n6C362Cnn 611C16C262Cnn 6 nnnnnn61C0C16C262Cnn 61116n117n1nnnn666练：C13 C29 C33n1Cn .nnnn解：设S nC1 n3 C2 n9 C3 n3n1Cn n,就3S nC13C22 3C33 3Cn nn 3C0C13C22 3C33 3Cnn 31nnnnnnnnS n13n14n31,由3题型二：利用通项公式求n x 的系数；例：在二项式413x2n的绽开式中倒数第3 项的系数为 45,求含有3 x 的项的系数？x解：由条件知Cn245,即C245,n2n900,解得n9舍去 或n10nn名师归纳总结
7、 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 细心整理欢迎下载845320rT1r C 10x110 rx2rCrx10r2r,由题意104r2r3,解得r6,4343103就含有3 x 的项是第 7 项T 6 16 C 10x32103 x , 系数为 210 ；练：求x219绽开式中9 x 的系数？2x解：rT1Crx29r1rr C x18 2r1rxrCr1r18 3 xr,令 183 r9, 就r3992x22故9 x 的系数为3 C 913 21；22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式x221x10的绽开式中的常数项？解：rT1r C 10x
8、210 r21xrr C 101rx205r,令205r0,得r8,所以T 98 C 10 12222256练：求二项式2x16的绽开式中的常数项？3 1C2x解：rT1Cr2 6rr 1 1r 1rCr26r1rx6 2r,令 6 2r0,得r3,所以T46662x2练：如x21n的二项绽开式中第5 项为常数项,就n_.x解：T 5C4x2n4144 C x2n12,令 2n120,得n6. nx题型四：利用通项公式,再争论而确定有理数项；例：求二项式x3x9绽开式中的有理项？r9 得r3 或rna9,第 3 页,共 7 页解：rT1Crx19rx1rr 1r C x27r,令27 6rZ
9、, 02369所以当r3时,27 6r4,T 43 13 C x4844 x ,a2a 3 1nn 2 ,当r9时,276r3,T 103 19 C x33 x ；题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：如x2312n绽开式中偶数项系数和为256,求 n . x解：设x2312n绽开式中各项系数依次设为a0,a 1,an,x令x1, 就有a 0a 1an0,令x1, 就有a 0a 1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 细心整理欢迎下载,解得n11将 - 得：2a 1a 3a5n 2 ,a 1a3a 52n1,有题意得,2n1
10、25628,n9；练：如3151n的绽开式中,全部的奇数项的系数和为1024,求它的中间项；xx2解：C0C2C4C2rC1C3C2r12n1,2n11024nnnnnnn462所以中间两个项分别为n6,n7,T 5 1C5316 515462x4,T 6 161x15nx2x题型六：最大系数,最大项；例：已知12 n,如绽开式中第5项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求绽开式中二项式系数最2大项的系数是多少？4 6 5 2解：C n C n 2 C n , n 21 n 98 0, 解出 n 7 或 n 14,当 n 7 时,绽开式中二项式系数最大的项是T 4 和 T 5 T
11、4 的系数 C 7 3 2 1 4 3 35,T 5 的系数 C 7 4 1 2 3 470, 当 n 14 时,绽开式中二项式系数2 2 2最大的项是 T ,T 的系数 C 14 7 2 1 7 73432；22 n练：在 a b 的绽开式中,二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数 2n ,就中间一项的二项式系数最大,即 T 2 n T n 1,也就是第 n 1 项；12练：在 x2 3 1x n的绽开式中,只有第 5 项的二项式最大,就绽开式中的常数项是多少？解：只有第 5项的二项式最大,就 n 1 5,即 n 8 , 所以绽开式中常数项为第七项等于 C 8 6 1 272 2
12、7例：写出在 a b 的绽开式中,系数最大的项？系数最小的项？解：由于二项式的幂指数 7是奇数,所以中间两项 第 4,5 项 的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有3 4 3 4 3 4T 4 C a b 的系数最小,T 5 C a b 系数最大；例：如绽开式前三项的二项式系数和等于 79 ,求 12 n的绽开式中系数最大的项？2解：由 C n 0C n 1C n 279, 解出 n 12 , 假设 rT 1 项最大, 1 2 12 1 1 124 122 2r r r 1 r 1A r 1 A r C 12 4 C 12 4A r 1 A r 2 C 12 r4 rC 12 r 14 r
13、 1,化简得到 9.4 r 10.4,又 0 r 12,r 10,绽开式中系数最大的项为 T ,有 T 11 1 12C 12 104 10x 1016896 x 102名师归纳总结 第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 细心整理欢迎下载7r,化简得到 6.3k7.3,又0r10,练：在12 10的绽开式中系数最大的项是多少？rr解：假设rT1项最大,rT1r C 102rxrA r1Ar2Cr2rCr12r1,解得2111010A r1ArCr2rCr12r1r12101010r7,绽开式中系数最大的项为T 87 7C 102x71
14、5360x.题型七：含有三项变两项；例：求当x23x25的绽开式中x 的一次项的系数？rT1的绽开式中才解法：x23x25x223 5,rT1Cr 5x225r3 r,当且仅当r1时,解法：5 55 2 有 x 的一次项,此时rT1T2C1 5x24 2 3 x ,所以 x 得一次项为1 C C4 442 3x它的系数为1 C C4 442 3240；x23x25x5 1 x250 C x51 C x4C5 50 5C x1 C x42C练：求式子故绽开式中含x 的项为4 C xC5254 C x 24240x ,故绽开式中x 的系数为 240. 6 1Crx6 2r,5x123的常数项？x1
15、23x16,设第r1项为常数项,就rT1Crr 1x6r1r解：x66xxx得 62 r0,r3, T 3 13 1C3 620. 题型八：两个二项式相乘；例：求13 2 1x 4绽开式中x2 的系数 .0,1,2,3, 4,6. 第 5 页,共 7 页解：12 3 的绽开式的通项是m C 32 mm C 32mxm,1x4的绽开式的通项是Cn 4xnCn 4n 1xn,其中m0,1,2,3,n令mn2,就m0且n2,m1 且n1,m2且n0, 因此13 2 1x4的绽开式中x2 的系数等于0 C 320C2 12C11 2C11 12 C 322C00 1练：4344求13x6 14110绽
16、开式中的常数项.x13x6 1110绽开式的通项为m C xmn C xnCmn C 10x4m3n解：341264x名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练：解：细心整理欢迎下载其中m0,1,2,6,n0,1,2,10, 当且仅当4 m3 , 即m0,或m3, 或4,m6,n0,nn8,时得绽开式中的常数项为C00 C 10C34 C 10C68 C 104246. 666已知1xx2x1 n的绽开式中没有常数项,nN*且2n8,就n_.3 xx1n绽开式的通项为Crx n rx3 rC rnxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得x 3nC
17、rxn4r,Crxn4r1,Crxn4r2,绽开式中不含常数项, 2n8nnnn4r且n4r1 且n4 r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在x22006 的二项绽开式中,含 的奇次幂的项之和为S,当x2 时,S_.解：设x22006= a 0a x 1 1a x 2 2a x 33a 2006x2006-22006x22006= a 01 a x 1a x 22a x 33a 2006x2006-得2 a x3 a x5 a xa 2005x2005x22006xx22006绽开式的奇次幂项之和为S x 1x22006x2200623 20
18、06当x2 时, 21222006222006223008 222题型十：赋值法；例：设二项式33x1n的绽开式的各项系数的和为p ,全部二项式系数的和为6s , 如第 6 页,共 7 页xps272, 就 n 等于多少？C0Cn2n,解：如33x1na0a xa x2a xn,有Pa 0a 1a ,Snnx令x1得Pn 4,又ps272, 即 4n2n2722n172n160解得2n16或2n17舍去,n4. ,就绽开式的常数项为练：如3x1n的绽开式中各项系数之和为64 ,就绽开式的常数项为多少？x解：令x1,就3x1n的绽开式中各项系数之和为2n64,所以nxC33x313540. 6x
19、名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例：如1 2 2022a 01 a x2 a xa x3a细心整理欢迎下载R , 就a 1a 2a 2022的值为a 2022x2022x22 222022解：令x1 , 2可得a 0a 1a 2a 20220,a 1a 2a 2022a4a 0_.22 22202222222022在令x0 可得a 01, 因而a 1a 2a 20222022 21.练：22 2a5a3如x25a x5a x4a x3a x2a x1a0,就a 1a 2解：令x0得a032,令x1 得a0a 12a 3a4a51,a 1a2a 3a 4a531.题型十一：整除性；例：证明：32n28n9nN*能被 64 整除918n91n 81C118nCn182第 7 页,共 7 页证：32n28 n99n18n981n18n0 C n18n1C118nCn182Cn11 8Cn nnn1n10 C n18n1C118nn C n1828n118n9C0n1nnn1由于各项均能被64 整除2 3n28n9nN*能被64整除名师归纳总结 - - - - - - -