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1、二项式定理1二项式定理：0n1n1(a b)n Cna Cnab rnrrCnab nnCnb(n N)，2根本概念：项数：共(r 1)项rnrrrnrr通项通项：Tr1 Cnab展开式中的第r 1项Cnab叫做二项式展开式的通项。3注意关键点：项数：展开式中总共有(n1)项。顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(ab)与(ba)是不同的。指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,Cn,Cn.项的系数是a与b的系数包括二项式系数。4常用的结论：令值法n0122
2、令a 1,b x,(1 x)CnCnx Cnx n0122令a 1,b x,(1 x)CnCnx Cnx rrCnx rrCnx nnCnx(n N)nn(1)nCnx(n N)012rnnn5性质：0nkk1二项式系数的对称性：与首末两端“对距离的两个二项式系数相等，即Cn Cn，Cn Cn012二项式系数和二项式系数和：令a b 1,那么二项式系数的和为CnCnCn12变形式CnCnrCnnCn 2n1。rCnnCn 2n，奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：0242r13CnCnCn Cn CnCnn12r1Cn 2n 2n12各项的系数的和：gxa bx.令 x=1 g11g1
3、 g121偶数项系数和：g1-g12奇数项系数和：nn二项式系数的最大项二项式系数的最大项：如果如果n是偶数时是偶数时，那么中间项中间项第1的二项式系数项二项式系数项Cn2取得最大值。2n1n1n1n 3如果如果n是奇数时是奇数时，那么中间两项中间两项 第.第项 系数项系数项Cn2,Cn2同22时取得最大值。系数的最大项系数的最大项：求(a bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别nAr1 Ar为A1,A2,An1，设第r 1项系数最大，应有，从而解出r来。A Ar1r26二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；题型一：二项式定理的逆用；1232例：C
4、nCn6Cn6 nCn6n1 .n Cn6n与的有一些差距，n012233解：(1 6)CnCn6Cn6 Cn6 123CnCn6Cn62nCn6n11012(CnCn6Cn626112n(Cn6Cn62Cn6n)611nCn6n1)(1 6)n1(7n1)66123练：Cn3Cn9Cnn3n1Cn .题型二：利用通项公式求题型二：利用通项公式求xn的系数；的系数；例：在二项式(4解：由条件知Cnr10132nx)的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？x2 45，即Cn 45，n2n90 0，解得n 9(舍去)或n 10，由23r10r2r43n2Tr1 C(x)1410r(
5、x)C xr10，由题意10r2r 3,解得r 6，43633那么含有x3的项是第7项T61 C10 x 210 x,系数为210。练：求(x219)展开式中x9的系数？2x。题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式(x212 x)10的展开式中的常数项？1Tr1 C(x)解：r102 10rr1r2054558182()C()x，令20r 0，得r 8，所以T9C10()2225622 xrr10练：求二项式(2x 16)的展开式中的常数项？2x练：假设(x2)n的二项展开式中第5项为常数项，那么n _.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；9例：求二项式(x 3x)展开式中的有理项
6、？1x解：Tr1 C(x)r9129r(x)(1)C x13rrr927r6，令27 rZ,(0 r 9)得r 3或r 9，627 r34x 84x4，4，T4(1)3C9627 r93x x3。当r 9时，3，T10(1)3C96所以当r 3时，题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：假设(x213x2)n展开式中偶数项系数和为256，求n.解：设(x213x2)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,an,令x 1,那么有a0 a1an 0,，令x 1,那么有a0 a1 a2 a3 (1)nan 2n,nn1将-得：2(a1 a3 a5)2,a1 a3 a5 2,有题意得，2
7、练：假设(3n1 256 28，n 9。151n)的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。2xx题型六：最大系数，最大项；练：在(a b)的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n，那么中间一项的二项式系数最大，即T2n212n Tn1，也就是第n1项。练：在(x21n)的展开式中，只有第5项的二项式最大，那么展开式中的常数项是多少？3x解：只有第5项的二项式最大，那么n1 5，即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于21C86()2 72例：写出在(a b)的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？7解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,
8、5项)的二项式系数相等，且同时取得最大343434值，从而有T4 C7a b的系数最小，T5 C7a b系数最大。练：在(1 2x)的展开式中系数最大的项是多少？解：假设Tr1项最大，rTr1 C102rxr10rrr1r1Ar1 Ar2(11 r)rC102 C102，化简得到6.3 k 7.3，又rr解得r1r1r 1 2(10 r)Ar1 Ar2C102 C102,7772 x 15360 x7.0 r 10，r 7，展开式中系数最大的项为T8 C10题型七：含有三项变两项；25例：求当(x 3x 2)的展开式中x的一次项的系数？r25rr2525(x 3x 2)(x 2)3x，Tr1
9、C5(x 2)(3x)，当且仅当r 1时，Tr1的展124144开式中才有 x 的一次项，此时Tr1 T2 C5(x 2)3x，所以x得一次项为C5C42 3x144它的系数为C5C42 3 240。.题型八：两个二项式相乘；例：求(12x)(1 x)展开式中x 的系数.解：mm(1 2x)3的展开式的通项是C3(2x)m C32mxm,nnnn(1 x)4的展开式的通项是Cn4(x)C41 x,其中m 0,1,2,3,n 0,1,2,3,4,342令mn 2,则m 0且n 2,m 1且n 1,m 2且n 0,因此(12x)3(1 x)42110的展开式中x2的系数等于C3020C4(1)2C
10、321C4(1)1C3222C4(1)0 6.练：求(13x)6(12110)展开式中的常数项.4x练：已知(1 x x)(x题型九：赋值法；1n*)的展开式中没有常数项,nN 且2 n 8,则n _.3x例：设二项式(33x)n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,假设1xps 272,那么n等于多少？0nS Cn Cn 2n，解：假设(33x)n a0 a1x a2x2 anxn，有P a0 a1 an，1x令x 1得P 4n，又p s 272,即4 2 272 (2 17)(2 16)0解得nnnn2n16或2n 17(舍去)，n 4.1 练：假设3 x 的展开式中各项系数之和为64，那么展开式的常数项为多少？x例：若(12x)解：令x 2009n a0a1x1a2x2a3x3a2009x2009(xR),则aa1a222009的值为2009222a2009a2009aaa1a21,可得a012 0,a022009220092222222a2009aa在令x 0可得a01,因而12 1.22222009554321练：若(x2)a5x a4x a3x a2x a1x a0,则a1a2a3a4a5 _.