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1、二次根式知识点及其应用一.二次根式的概念：（1）形如 的式子叫做二次根式.（即一个 的算术平方根叫做二次根式（2）二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零。如：二. 二次根式化简:1.（1）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的每一个因数的指数都小于根指数2.（2）用来判断一个二次根式是否是最简二次根式记忆：最简二次根式简记：最简根式三条件，号内不把字母含，幂指数根指数要互质，幂指数小于根指数。（3）二次根式化简的一般步骤： 把带分数或小数化成假分数把开方数分解成质因数或分解因式把根号内能开尽的数移到根号
2、外化去根号内的分母，或者化去分母中的根号约分2.几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。3.分母有理化 （1）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。常用： 与与 与 +与与（2）分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母中的根号化去。分母有理化方法：分子与分母同乘以分母的有理化因式 例如：分子或分母分解因式，约去分母中含有二次根式的因式例如：4.把因式移到根号内、外的方法：（1）当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外，然后把这个数平方后移到根号内；当根号外数是一个正数时，把这个
3、数平方后移到根号内。如： （2）当根号内的数是一个负数时，开方移到根号外后填上负号；当根号内数是一个正数时，直接开方移到根号外。如：三.二次根式的性质：（1） 非负性 ：问：（2）与（3）的异同点？四.二次根式的运算：二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式的加减： (一化，二找，三合并 )（1）将每个二次根式化为最简二次根式；注意：化简二次根式的方法：1.如果被开方数是整数或整式，先将其分解因数或分解因式，然后把开的尽方的因数或因式开出来。2. 如果被开方数中含有分数或分式，就利用分数或分式的基本性质将分母化成平方然后开出来。 （2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。 Ps:类
4、似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用二、二次根式的应用1.对二次根式的认识1一个自然数的算术平方根为，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）（A）（B）（C）（D）2.若的平方根是，则3.已知：最简二次根式与的被开方数相同，则4若是的整数部分，是的小数部分，则，5已知，且，则满足上式的整数对有_2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值1：使有意义的的取值范围2.若，则=_。3.当时，式子有意义4若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A且 B C且 D且5等式成立的条件是（ ） A B C D3、非负性的运
5、用例1.已知：,求x-y的值.2.若，则等于（ ） A B C D13、若为实数，且，则的值为（ ）A1 B C2 D4、二次根式估算如右图，在数轴上，两点之间表示整数的点有个.估计的值（）. 在3到4之间 . 在4到5之间. 在5到6之间 . 在6到7之间的整数部分是_4估算的值（ ）A在和之间B在和之间C在和之间D在和之间 5、运用数形结合，进行二次根式化简(1) 把因式移到根号内、外1若，则化简得（ ）（A） （B） （C） （D）2.已知，化简的结果（ ）（A） （B） （C） （D）3.中根号外的移入根号内（ ）（A） （B） （C） （D）4把式子中根号外的移到根号内，得（ ） A
6、 B C D5若，且成立的条件是_6当，化简_（2）识别最简二次根式和同类二次根式1.下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B C D2、下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A B C D 3.在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A B C D4. .在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A B C D5.若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）（3）利用二次根式的性质来化简1若，则等于（ ）（A）0 （B） （C） （D）0或2若，则3当时，化简等于（ ）（A）2 （B） （C） （D）04若，则等于_5化简得（ ）（A）2 （B
7、） （C） （D）6已知下列命题：； ； 其中正确的有（ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个7已知是实数，且，则与的大小关系是（ ）（A） （B） （C） （D）8.若化简，则的取值范围9当_时，10.实数a、b在数轴上的位置如图所示化简=（4）综合化简题1.已知x,y都是实数,且满足,化简2已知是实数，且，求的值3若，则的结果为（ ）（A） （B） （C） （D）4化简的结果是（ ） A B C D5的值为（ ） A B C D 6.若，则的值是（ ）.A B C D7.化简8.计算（5）1、下列计算正确的是：( ).A BC D2、下列运算正确的是（ ）A BC D3、下面计
8、算正确的是（ ）A B C D4、设a0，b0，则下列运算错误的是（ ）A B C()2a D5、下列各数：中，无理数的个数是（ ）A 2个 B 3个 C 4个 D 5个6、下列各数中，与的积为有理数的是（）（） （） （） （）7、已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）58已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）A12 B11 C8 D36.二次根式的混合运算1计算下列各题：（1）；（2）（3）（4）（5）（6） 2已知，求的值 3若与互为相反数，求代数式的值.4已知：，求的值5.已知实数，满足，求6先化简在求值： （1）已知 ，求的值。（2），其中7、二次根式的大小比较1.比较下列各组中两个数的大小与 与2.比较大小：与3.比较大小： 与4.设,比较a、b、c的大小关系5.（1）比较大小：与，与，与 （2）由（1）中比较的结果猜想：与（为整数）的大小关系。 （3）对（2）中的猜想证明8、与二次根式有关的规律探究1.观察下列分母有理化的计算：从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算