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1、知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义:形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是 2、如果代数式有意义,那么，直角坐标系中点P(m,n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=+2009,则x+y= 解题思路：式子（a0）， ,y=2009，则x+y=2014举一反三: 1、若，则xy的值为（ ）A1 B1 C2 D33、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。已知a是整数部分,b是 的小数部分,求的值。若的整数部分为x，小数部
2、分为y，求的值。知识点二：二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到2。 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：3。 注意：(1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 (3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4。 公式与的区别与联系 （1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数 （2）表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数（3）和的运算结果都是非负的【典型例题】 【例4】若则
3、 举一反三：1、已知直角三角形两边x、y的长满足x24|0，则第三边长为.2、若与互为相反数，则。 (公式的运用）【例5】 化简：的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三：3已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为 （公式的应用）【例6】已知,则化简的结果是A、 B、C、D、 举一反三：2、化简得（ ）(A）2（B)(C）2（D)3、已知，化简求值:【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简ab+ 的结果等于( ) A2b B2b C2a D2a举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：【例8】化简的结果是2x5，则x的取值范围是( ）(A）x
4、为任意实数 (B）x4 （C) x1 （D)x1举一反三：若代数式的值是常数,则的取值范围是（ )或【例9】如果,那么a的取值范围是（ ） A。 a=0 B。 a=1 C。 a=0或a=1 D. a1 举一反三：1、如果成立，那么实数a的取值范围是( ）2、若，则的取值范围是( ）（A） （B） （C） （D)【例10】化简二次根式的结果是（A） （B） (C) （D)1、把根号外的因式移到根号内：当0时， ； 。知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数,因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式2、同类二次根式（可合并根式
5、）: 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式.【典型例题】 【例11】下列根式中能与是合并的是（ )A。 B。 C。2 D. 举一反三:1、下列各组根式中,是可以合并的根式是（ ) A、 B、 C、 D、2、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式， 则a=_.知识点四：二次根式计算分母有理化【知识要点】 1分母有理化定义：把分母中的根号化去,叫做分母有理化.2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互
6、为有理化因式.两项二次根式:利用平方差公式来确定。如与,，分别互为有理化因式.3分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式;最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】 【例13】 把下列各式分母有理化（1） (2） 举一反三：1、已知,，求下列各式的值:（1）（2)知识点七：根式比较大小【知识要点】 1、根式变形法 当时,如果,则；如果，则.2、平方法 当时，如果，则；如果，则。3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较.5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较.7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质：；8、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：； 【典型例题】 【例22】 比较与的大小.【例23】比较与的大小。【例24】比较与的大小.【例26】比较与的大小。已知：，求的值