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1、学习必备欢迎下载二次根式知识点及其应用一.二次根式的概念：（1）形如的式子叫做二次根式 . （即一个的算术平方根叫做二次根式（2）二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零。如：二. 二次根式化简 : 1.（1）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的每一个因数的指数都小于根指数2. （2）用来判断一个二次根式是否是最简二次根式记忆：最简二次根式简记：最简根式三条件，号内不把字母含，幂指数根指数要互质，幂指数小于根指数。（3）二次根式化简的一般步骤：把带分数或小数化成假分数把开方数分解成质因数或分解因式把根号
2、内能开尽的数移到根号外化去根号内的分母，或者化去分母中的根号约分2.几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。3.分母有理化（1）有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。常用： 与ab与ab与a+b与ababc d与（2）分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母中的根号化去。分母有理化方法：0 ()aaaaab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载分子与分母同乘以分母的有理化因式例如：分子或
3、分母分解因式，约去分母中含有二次根式的因式例如：4.把因式移到根号内、外的方法：（1）当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外， 然后把这个数平方后移到根号内；当根号外数是一个正数时，把这个数平方后移到根号内。如：（2）当根号内的数是一个负数时，开方移到根号外后填上负号；当根号内数是一个正数时，直接开方移到根号外。如：三.二次根式的性质：（1） 非负性 ：问： （2）与（ 3）的异同点？0 ()aa2(2)(0 )aaa2(3)(4)(0,0 )abab(00)1(0,0,)()()aaabababbbbbbabababababababab ,2()2(0,0)()()(0,0)xyxxyy
4、xy xyxyxyxyxyxyxy xyxyxy(0);(0)a baaba22(0);(0)a baa ba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载四.二次根式的运算：二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式的加减：(一化，二找，三合并) （1）将每个二次根式化为最简二次根式；注意：化简二次根式的方法：1.如果被开方数是整数或整式，先将其分解因数或分解因式，然后把开的尽方的因数或因式开出来。222aab b2. 如果被开方数中含有分数或分式，就利用分数或分式的基本性质将分母化成平方然后开出来。（2）找出
5、其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。Ps: 类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用二、二次根式的应用1.对二次根式的认识1一个自然数的算术平方根为0a a，则与这个自然数相邻的两个自然数的(5)(00)aabb(0 ,0)abab(0 ,0)aabb1223a b23(1)x1121231xy1x yb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载算术平方根为（）（A）1,1aa（B）1,1aa（C）221,1aa（D）221,
6、1aa2.若 21x的平方根是5，则41_x3.已知：最简二次根式4ab与23a b的被开方数相同，则_ab4若x是8的整数部分， y 是8的小数部分，则_x，_y5已知2009xy ，且0 xy，则满足上式的整数对, x y 有_2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值1：使131xx有意义的x的取值范围2.若2)(11yxxx，则yx=_ 。3.当_x时，式子534xx有意义4若代数式有意义，则的取值范围是（）A且BC且D且5等式成立的条件是（）ABCD3、非负性的运用例 1.已知：420 xxy,求 x-y的值. 2. 若，则等于（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名
7、师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载ABCD1 3、若xy，为实数，且220 xy，则2009xy的值为（）A1 B1 C2 D24、二次根式估算如右图，在数轴上A，B两点之间表示整数的点有个. 估计30的值（）. 在 3 到 4 之间. 在 4 到 5 之间 . 在 5 到 6 之间 . 在 6 到 7 之间55的整数部分是 _ 4 估算192的值（）A在5和6之间B在6和7之间C在7和8之间D 在8和9之间5、运用数形结合，进行二次根式化简(1) 把因式移到根号内、外1若0,0ab，则3a b 化简得（）（A）aab（B）aab（C）aab（D）a
8、ab2.已知0,0abbc，化简333a cb的结果（）（A）2acabcb（B）2acabcb（C）2acabcb（D）2acabcb3.1(1)1aa中根号外的(1)a移入根号内（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载（A）1a（B）1a（C）1a（D）1a 4把式子1mm中根号外的移到根号内，得（）ABCD5若0 xy，且32x yxyx成立的条件是 _6当，化简_（2）识别最简二次根式和同类二次根式1.下列二次根式是最简二次根式的是（）A2 3aB38xC3yD4b2、下列根式中不是最简二次根
9、式的是（） A2 B6 C8 D103.在下列二次根式中，与a是同类二次根式的是（）A3aB33aC3aD4a4. .在下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（）A3B12C 8D215.若246m与234m化成最简二次根式后的被开方数相同，则m的值为（）（A）203（B）5126（C）138（D）158（3）利用二次根式的性质来化简1若0 x，则2xx 等于（）（A）0 （B）2x（C ） 2x（D）0 或2x2若11x，则211_xx3当12a时，化简214421aaa等于（）（A）2 （B） 24a（C）a（D）0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
10、- - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载4若 01x，则221144xxxx等于_5化简2244123xxx得（）（A）2 （B） 44x（C）2（D） 44x6已知下列命题：22525 ；2336；22333aaa；22abab 其中正确的有（）（A）0 个（B）1 个（C）2个（D）3个7已知,a b是实数，且222aabbba，则a与 b 的大小关系是（）（A） ab（B） ab（C） ab（D） ab8.若化简2181625xxxx，则x的取值范围9当_时，10. 实数 a、b 在数轴上的位置如图所示化简222()abab= （4）综合化简题1.已知 x,y都是实数
11、,且满足5 .011xxy,化简11yy2已知yx,是实数，且329922xxxy，求yx65的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载3若1ymy，则21yy的结果为（）（A）22m（B）22m（C ）2m（D）2m 4化简3162 228的结果是（）ABC D5的值为（）ABCD6. 若xmnymn，则xy的值是（）. A2m B 2 n C mn D mn7.化简a ab aaab8.计算118232（5）1、下列计算正确的是： ( ). A822B321C325 D2 362、下列运算正确的是（
12、） A523 B623C13)13(2 D3535223、下面计算正确的是（）A3333 B3327C532D244、设 a0，b0，则下列运算错误的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载Aabab Babab C (a)2a Dabab5、 下列各数：21303003.072260cos32.0902，中， 无理数的个数是（）A 2 个 B 3个 C 4 个 D 5个6、下列各数中，与23的积为有理数的是（）（）23（）23（）23（）37、已知：20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（）（A
13、）2 （B）3 （C）4 （D）5 8已知n12是正整数，则实数n 的最大值为（）A12 B11 C8 D3 6.二次根式的混合运算1计算下列各题：（1）3213022 2232； （2）(3248)(184 3)（3）22222424(2)2424nnnnnnnnn（4）32134273108 .333aaaaaa（5）0293618( 32)(12)23（6）1021()( 52)18(2)232已知200620070225522522a，求24aa的值 3若42yx与212yx互为相反数，求代数式32341yyxx的值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
14、 - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载4已知：，求的值5.已知实数a，b，c满足2122102abbccc，求()a bc6先化简在求值：（1）已知2,3xy，求222()xxxyxyxyxy的值。（2）22222()21xyxyxxyxxyyxyy，其中11,2323xy7、二次根式的大小比较1.比较下列各组中两个数的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载32 7与33 2322与312022. 比较大小：53与423. 比较大小：26与354.设25,3223c，ba, 比较 a、b、c 的大小关系5.（1）比较大小：32与21，43与32，54与43（2）由（1）中比较的结果猜想：1nn与1nn（2,nn为整数）的大小关系。（3）对（ 2）中的猜想证明8、与二次根式有关的规律探究1.观察下列分母有理化的计算：11121,32,43,.,213243从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算1111(.)(20101)21324320102009精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页