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1、药学高数极限第1页，共21页，编辑于2022年，星期二 一、数列的极限一、数列的极限 我国古代数学家刘徽（第三世纪）利用圆内接正多我国古代数学家刘徽（第三世纪）利用圆内接正多边形的面积来推算圆面积的方法边形的面积来推算圆面积的方法割圆术，就是极限割圆术，就是极限思想在几何上的一个应用。思想在几何上的一个应用。设有一圆，欲求它面积的精确值设有一圆，欲求它面积的精确值S。为此先作圆的。为此先作圆的内接正六边形，其面积记为内接正六边形，其面积记为S1，再作圆内接正十二边，再作圆内接正十二边形，其面积记为形，其面积记为S2，再作圆内接正二十四边形，其面，再作圆内接正二十四边形，其面积记为积记为S3，循
2、此下去，每次边数加倍，就可以得，循此下去，每次边数加倍，就可以得到一系列圆内接正多边形的面积。到一系列圆内接正多边形的面积。圆内接正多边形的边数无限增加圆内接正多边形的边数无限增加,Sn也无限接近于确定的数值也无限接近于确定的数值S。第2页，共21页，编辑于2022年，星期二 若若xn是正整数是正整数 n 的函数的函数:xn=f(n),其取值依次为其取值依次为 x1,x2,xn,像这样一列有次序的数像这样一列有次序的数,叫做叫做数列数列(sequence of number),简记为数列简记为数列 xn。数列中的每一个数叫做数。数列中的每一个数叫做数列的项，列的项，x1叫做数列的叫做数列的首项
3、首项，第，第 n 项项 xn 叫做数列叫做数列 xn的的一般项或通项一般项或通项。例如：例如：1，2，3，n n （1-1）（1-2）（1-3）（1-4）第3页，共21页，编辑于2022年，星期二 在几何上，数列可看作数轴上的一列点。在几何上，数列可看作数轴上的一列点。若数列若数列 xn 满足满足 x1 x2 x3 xn则称数列则称数列 xn 为为单调增加数列单调增加数列;若数列若数列 xn 满足满足 x1x2x3xn则称数列则称数列 xn 为为单调减少数列单调减少数列。若对于数列若对于数列 xn ，存在正数，存在正数 M,使得对一切使得对一切 n，都，都满足不等式满足不等式 xn M则称数列
4、则称数列 xn 是是有界有界的。如果这样的正数的。如果这样的正数M不存在，则称数列不存在，则称数列 xn 是是无界无界的。的。x2x1x3xn第4页，共21页，编辑于2022年，星期二 例如：例如：数列（数列（1-2）、（）、（1-3）、（）、（1-4）是有界数）是有界数列，而数列（列，而数列（1-1）是无界的。）是无界的。定义定义 1-4 如果当如果当 n 无限增大时，无限增大时，xn 无限趋于一个确无限趋于一个确定的常数定的常数 a，则称，则称 a 是数列是数列 xn 当当 n时的极限时的极限(limit)，或称数列，或称数列 xn 收敛收敛(convergent)于于a，记为，记为 或或
5、 例例1-7 讨论数列讨论数列当当 n 时的变化趋势。时的变化趋势。解解 此数列的一般项为此数列的一般项为当当 n 越来越大时，点越来越大时，点 xn 越来越接近于点越来越接近于点1，即，即 第5页，共21页，编辑于2022年，星期二 定义定义1-5 “-N”定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数（不（不论它多么小）总存在正整数论它多么小）总存在正整数 N，使得对于满足，使得对于满足n N时时的一切的一切 xn，不等式，不等式 xn-a 恒成立，则称常数恒成立，则称常数 a 是数列是数列xn 当当 n 时的极限，时的极限，或者称数列或者称数列xn 收敛于收敛于a，记为，记为或或
6、 xn a（n）注意注意:（1）定义中的正数定义中的正数 “可以任意给定可以任意给定”是很重是很重要的。要的。（2）定义中的正整数）定义中的正整数 N 是与任意给定的正数是与任意给定的正数 有关有关的它可以随的它可以随 的给定而选定。的给定而选定。第6页，共21页，编辑于2022年，星期二“数列数列xn 的极限是的极限是 a”的几何解释：的几何解释：因为不等式因为不等式 xn-a N 时，所有点时，所有点 xn 都落在开区间都落在开区间（a-，a+）内，而只有有限个（至多有）内，而只有有限个（至多有 N 个）个）点落在这个区间之外。点落在这个区间之外。并不是所有的数列都有极限。并不是所有的数列
7、都有极限。例如：例如：在在 n 无限增大时，总是在无限增大时，总是在 0 和和 1 这两个数上来回跳这两个数上来回跳动，不趋于某一个确定的常数动，不趋于某一个确定的常数,所以发散。所以发散。x2a-xN+1axN+3xN+2a+x1x3x2 第7页，共21页，编辑于2022年，星期二例如例如:已知已知证明数列证明数列的极限为的极限为1.证证:欲使欲使即即只要只要则当则当时时,就有就有故故第8页，共21页，编辑于2022年，星期二 二、函数的极限二、函数的极限 （一）当（一）当 x x0 时函数的极限时函数的极限 定义定义1-6 设函数设函数 f(x)在点在点 x0 的某个邻域内有定的某个邻域内
8、有定义（点义（点 x0 可以除外），如果当可以除外），如果当 x 无限趋近于（即无限趋近于（即x x0（xx0）时），对应的函数值）时），对应的函数值 f(x)无限趋无限趋近于一个确定的常数近于一个确定的常数 A，则称常数，则称常数 A 是函数是函数 f(x)当当 x x0 时的极限，记为时的极限，记为 或或第9页，共21页，编辑于2022年，星期二 例例1-8 讨论函数讨论函数 f(x)=2x+1当当 x1 时的变化趋势。时的变化趋势。表表1-2x0.90.990.9990.9999 1 1.0001 1.0011.011.1f(x)=2x+12.82.982.9982.9998 3 3.0
9、002 3.0023.023.2定义定义1-7 “-”定义：定义：设函数设函数 f(x)在点在点 x0 的某个邻的某个邻域内有定义（点域内有定义（点 x0 可以除外），如果对于任意给定的可以除外），如果对于任意给定的正数正数 （不论它多么小），总存在正数（不论它多么小），总存在正数 ，使得对于，使得对于满足不等式满足不等式 0 x-x0 的一切的一切 x，对应的函数值，对应的函数值 f(x)都满足不等式都满足不等式 f(x)-A 则称常数则称常数 A 为函数为函数 f(x)当当 x x0 时的极限，记为时的极限，记为 或或第10页，共21页，编辑于2022年，星期二 函数函数 f(x)当当 x
10、x0 时的极限为时的极限为 A 的几何解释的几何解释:任意给定一正数任意给定一正数 ,作平行于作平行于 x 轴的两条直线轴的两条直线y=A+和和 y=A-，介于这两条直线之间是一横条区，介于这两条直线之间是一横条区域。根据定义，对于给定的域。根据定义，对于给定的 ，存在点，存在点 x0 的一个去心的一个去心的的 邻域邻域 （即（即 ），），当当 y=f(x)图形上点的横坐标图形上点的横坐标 时，这些点时，这些点的纵坐标的纵坐标 f(x)均满足不等式均满足不等式 f(x)-A 即即 A-f(x)A+，从而这些点落在上面所说，从而这些点落在上面所说的横条区域内。的横条区域内。x0y=f(x)A-A
11、+A x0-x0+x0第11页，共21页，编辑于2022年，星期二 例例1-9 证明证明 （C为一常数）。为一常数）。证证 因为因为 f(x)-A =C-C=0，对于任意给定的正数，对于任意给定的正数，可任，可任取一正数取一正数 ，当，当 0 x-x0 时，能使不等式时，能使不等式 f(x)-A =0 恒成立，所以恒成立，所以 例例1-10 证明证明证证 因为因为 f(x)-A=x-x0，对于任意给定的正数，对于任意给定的正数，可任取一，可任取一正数正数 =，0 x-x0 =时，能使不等式时，能使不等式|f(x)-A=x-x0 恒成立，所以恒成立，所以第12页，共21页，编辑于2022年，星期
12、二 例例1-11 讨论当讨论当 x3时，时，是否存在是否存在极限。极限。解解 函数函数 在在x=3处是没有定义的，处是没有定义的，但但 x3，从而，从而 f(x)-6=(x+3)-6=x-3，因此对于任意给，因此对于任意给定的定的正数正数，总可以取，总可以取=，当，当 0 x-3 =能使能使不等式不等式 f(x)-6 =x-3 恒成立，所以恒成立，所以第13页，共21页，编辑于2022年，星期二左极限左极限从左边趋于从左边趋于,记为记为右极限右极限从右边趋于从右边趋于,记为记为注意注意 例例1-12 考察函数考察函数当当 x0时的极限时的极限。解解 因为左极限和右极限不相等，所以当因为左极限和
13、右极限不相等，所以当 x0 时极限不存在。时极限不存在。第14页，共21页，编辑于2022年，星期二 (二二)当当 x 时函数的极限时函数的极限 定义定义1-8 设函数设函数 f(x)对于绝对值无论怎样大的对于绝对值无论怎样大的 x 都都是有定义的。如果在是有定义的。如果在 x的过程中，对应的函数值的过程中，对应的函数值 f(x)无限趋近于确定的常数无限趋近于确定的常数 A，那么，那么 A 叫做函数叫做函数 f(x)当当 x 时的极限，记为时的极限，记为 或或 定义定义1-9“-X”定义：定义：如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数（不论它多么小），总存在正
14、数 X，使得对于适合不，使得对于适合不等式等式 x X 的一切的一切 x，对应的函数值，对应的函数值 f(x)都满足不都满足不等式等式 f(x)-A 那么常数那么常数 A 叫做函数叫做函数 f(x)当当 x 时的极限，记为时的极限，记为 或或第15页，共21页，编辑于2022年，星期二 单侧极限单侧极限 当自变量当自变量 x 的变化沿的变化沿 x 轴的正方向无限增大轴的正方向无限增大(或沿或沿 x 轴的负方向绝对值无限增大轴的负方向绝对值无限增大)时时,函数函数 f(x)无限趋近于无限趋近于某一个常数某一个常数A,就称就称A 为函数为函数 f(x)单侧极限单侧极限,记为记为 例如：例如：若若
15、，则称，则称 y=C 直线是曲线直线是曲线 y=f(x)的的一条一条水平渐近线水平渐近线。y=ax(a1)(0,1)y=1/xxy0 xy0第16页，共21页，编辑于2022年，星期二 注意注意:例如例如:所以不存在。所以不存在。第17页，共21页，编辑于2022年，星期二内容小结：内容小结：1.数列极限的数列极限的“N”定义及应用定义及应用2.函数极限的函数极限的“”或或“X”定义及应用定义及应用3.函数极限的性质函数极限的性质:左右极限等价定理左右极限等价定理第18页，共21页，编辑于2022年，星期二 思考与练习题思考与练习题一、填空题一、填空题1、设、设 ，则，则 ()解：解：二、单项选择题二、单项选择题1、f(x)在在x=x0处有定义是处有定义是f(x)在在x=x0处有极限的处有极限的()A.必要条件必要条件 B.充分条件充分条件 C.充要条件充要条件 D.无关的条件无关的条件解：解：D第19页，共21页，编辑于2022年，星期二2、()A.1 B.-1 C.不存在不存在 D.0解：解：B3、()1 B.0 C.-1 D.不存在不存在解：解：D第20页，共21页，编辑于2022年，星期二作业作业:习题一习题一 11-17第21页，共21页，编辑于2022年，星期二