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1、一、一、不定积分不定积分五、平面曲线积分五、平面曲线积分四、重积分四、重积分积分学二、二、定积分定积分三、三、广义积分广义积分六、积分应用六、积分应用1一、一、不定积分不定积分1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法(要求记住基本积分公式）.2.换元积分法2第一类换元的基本思路第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有3456第二类换元的解题思路为使用该公式的关键为第二类换元常见类型有 三角代换 倒代换 根式代换等73.3.分部积分法分部积分法一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u.(1)当被积函数为对数函数和反三角函数时,取被积函数为 u(2
2、)当被积函数为两种不同类型函数乘积时8例例3 3 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）9解解两边同时对两边同时对 求导求导,得得102、定积分的性质性质性质1性质性质2性质性质31、定积分定义：二、定积分二、定积分11性质性质5推论：推论：（1）（2）性质性质412性质性质7(定积分中值定理定积分中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式133、积分上限函数的导数14也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式4、牛顿莱布尼茨公式155、定积分的计算法换元公式换元公式（2）第二类换元法）第二类换元法（3）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式（1）凑微分法
3、）凑微分法166、重要结论为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数171819三、广义积分三、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分20(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分211.二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 四、重积分（化为累次积分）四、重积分（化为累次积分）22特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为,则有237.(二重积分的中值定理)在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使连续,242.2.在直角坐标系下计算二重积分在直角坐标系下计算二重积分若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则25解解263.在极坐标系下计算二重积分27例例9.计算二重积分计
4、算二重积分其中D 为圆周所围成的闭区域.提示提示:由于积分区域关于X轴对称，被积函数为偶函数，考虑上半圆。再利用极坐标原式28例例10.10.交换下列积分顺序交换下列积分顺序交换下列积分顺序交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成:视为Y型区域,则29方法方法方法方法1.1.三次积分法三次积分法三次积分法三次积分法3.3.在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分30方法方法方法方法2.2.截面法（先二后一）截面法（先二后一）截面法（先二后一）截面法（先二后一）记作在该区间内作31 2.在柱坐标系下计算三重积分在柱坐标系下计算三重积分在柱坐标系下计算三重积分在柱坐标系下计算三重积分在
5、柱坐标系下化三重积分为三次积分是将积分区域在某个坐标面上投影，将投影区域用极坐标表示，最后找出另一个坐标的变化范围。323.3.在球面坐标系下计算三重积分在球面坐标系下计算三重积分在球面坐标系下计算三重积分在球面坐标系下计算三重积分33五、平面曲线积分五、平面曲线积分计算定积分转 化且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分说明说明:积分限必须满足1.1.对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算34如果曲线如果曲线如果曲线如果曲线 L L 的方程为的方程为的方程为的方程为则有35例例11.11.计算计算计算计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1
6、)之间的一段弧.解解:上点 O(0,0)362.2.对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有37特别是,如果 L 的方程为则38例例例例12.12.计算计算计算计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则39规定：封闭曲线沿逆时针方向为正方向设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有格林公式格林公式函数在 D 上具有连续一阶偏导数,3.格林公式40例例13.13.计算计算计
7、算计算其中L 为上半从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D,则411.1.平面图形的面积平面图形的面积设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为 六、积分应用六、积分应用42例例例例14.14.计算两条抛物线计算两条抛物线计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解解:由得交点43例例例例15.15.求椭圆求椭圆求椭圆求椭圆解解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a=b 时得圆面积公式44(1)(1)曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:所求弧长2.平面曲线的弧长45(2)(2)曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:所求弧长46连续曲线段连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有3.旋转体体积474.4.空间立体体积空间立体体积空间立体体积空间立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为48