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1、满满足足在在若若 )( )()( 00 xPxfPf 一、全微分的定义一、全微分的定义, )( )( 000 xAfdxPxfxx 可可微微，在在点点则则);( 0 xfA 且且; , xdxx 有有对对自自变变量量, )( 00 xdxffdxx 可可导导函函数数，可可微微对对一元2/17)()(00 xfxxff )(xoxA |)(|0PPoxA ; )(00 xxxdfdxf 例例 2 2 计计算算xyez 在在点点)1 , 2(处处的的全全微微分分. 解解)1,2(xz ,2e ,22)1,2(eyz .222)1 ,2(),(dyedxedzyx )1,2()(xyye 9/171
2、0/17解解xz yz ),4(),(),4(),( dydxyxdz).74(82 ),2sin(yxy )2cos(yx ),2sin(2yxy dxxz ),4( dyyz ),4( .1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 11/17证证)0 , 0()0 , 0(yxff 0|0 y;0 当当)0 , 0(),( yx时时， ),(yxfx),(lim0,)0 , 0(),(yxfxxxyyx xxxx21cos22121sinlim00| ), 0( yyf*例例4 试证试证 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf1
3、2/17)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx ),)()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微, . 0)0,0( df.证毕证毕),(yxfx在在)0 , 0(不不连连续续. ),(lim)0,0(),(yxfxyx不存在不存在.13/17二元函数全微分的几何意义二元函数全微分的几何意义函函数数曲曲线线上上点点可可微微在在 )(0 xxfy )(d00 xxxff 上上点点函函数数曲曲面面可可微微在在 ),( ),( 00yxyxfz)(,()(,(d000000yyyxfxxyxffyx .上纵坐标的增量T 切线为为. 上竖坐标的增量切平面 为
4、为；处处有有（非非垂垂直直）的的切切线线 Txf,x )( (00；的的非非垂垂直直处处有有 切切平平面面)( ),( ,(0000yxf,yx14/17三、连续、可导与可微的关系三、连续、可导与可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导 TH1TH2可微的可微的定义定义 例例1(0,0)22在在yxz (0,0)22在在yxz ) 0 , 0(),(, 0) 0 , 0(),(,1sin22yxyxyxxy).0 , 0(在在.15/17*全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用连连续续，在在、当当在在),( ),(),(00yxyxfyxfyx，
5、yyxfxyxfdffyx ),(),(0000从而从而),(00yyxxf .),(),(),(000000yyxfxyxfyxfyx 都都较较小小时时，有有近近似似等等式式、且且yx 16/17解解.),(yxyxf 令令.02. 0,04. 0, 2, 100 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf得得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 17/17多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系（注意注意：与一元函数有很大区别与一元函数有很大区别）四、小结四、小结作业作业第九章练习一第九章练习一剩下的题剩下的题练练 习习 题题