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1、 一、中值定理 定理2-1 （罗尔(Rolle)中值定理）如果函数 f(x)在闭区间 a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且 f(a)=f(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点 (a b),使得 f()=0 成立。证明 （1）若函数 f(x)在闭区间 a,b上为常数，则 f(x)=0，因而，(a,b)内任何一点都可取作 。（2）若函数 f(x)在 a,b 上不是常数,必存在最大值 M 和最小值 m，且 M 与 m 至少有一个不等于 f(a)。xyoa 1bCy=f(x)第1页/共26页 不妨设 Mf(a),则在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f()=M。由于(a,b),故 f()存在
2、。而 f()=M，所以，当 x 足够小时，f(+x)-f()0,若 若二者又相等，所以 f()=0 成立。第2页/共26页 罗尔中值定理的几何意义：一段连续曲线 y=f(x)除端点外，处处有不垂直于 x 轴的切线（即可导），且在两个端点处的纵坐标相等（即 f(a)=f(b)），则在该段曲线上至少有一点(,f()的切线与 x 轴平行。例2-26 已知 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)。不求导，判断方程 f (x)=0 的实根个数和范围。解 f(x)的连续性和可导性是明显的，且 f(1)=f(2)=f(3)=0，故在区间1，2、2，3上均满足罗尔中值定理的条件，则在（1，2）内至少存在一点
3、 1，使得 f (1)=0；在（2，3）内至少存在一点 2，使得 f (2)=0。而 f (x)=0 是一元二次方程，最多有两个实根，分别在开区间（1，2）、（2，3）内。第3页/共26页 拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736 年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵 的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等 周问题”的过程中，他用纯分析的方法发 展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，
4、居住达二十年之久。在此期间他完成了分析力学一书，建立起完整和谐的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。第4页/共26页 定理（拉格朗日(Lagrange)中值定理）如果函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，在开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点 (a x0。由条件（1）知，函数 f(x)、g(x)在区间 x,x0 上满足柯西中值定理的条件（若在 x0 点不连续，则补充定义 f(x0)=0,g(x0)=0），则至少存在一点(x0,x)，使得当 xx0 时，必有 x0，所以
5、第14页/共26页 将 xx0 改为 x，结论仍成立。因为，设 ，则当 x 时，t 0。故 将条件（2）改为 ，即 为 型不定式，结论也成立。第15页/共26页 例2-28 求 解 设 f(x)=e2x-1,g(x)=3x。两个函数满足洛必达法则中条件（1）、（2），且 f (x)=2e2x,g (x)=3。由于 所以，根据洛必达法则，第16页/共26页 例2-29 求 解 注意：在求极限过程中，洛必达法则可多次使用，但每次使用必须验证是否满足洛必达法则中的条件。例2-302-30 求 解 第17页/共26页 型未定式解法 方法：把它们转化成 或 型后，再用洛必达法则求极限。型 例2-312-
6、31 求 解 方法第18页/共26页 注意：此题若变形为 ，则转化成 型但 ，不利于求极限。因此，把 型不定式转化成 型还是 型应根据所给函数而定。总的原则是分子、分母求导越方便，求导以后的新函数求极限越方便为宜。第19页/共26页 -型 例2-32 求 解 方法第20页/共26页 型 例2-33 求 解 设 ，则所以方法第21页/共26页 例2-34 求 解 设 ，则所以第22页/共26页 例2-35 求 解 设 ，则所以第23页/共26页其他不定式:解决方法解决方法:通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化第24页/共26页作业作业:习题二习题二 34-40第25页/共26页感谢您的观看！第26页/共26页