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1、医用高数医用高数10一、不定积分的概念一、不定积分的概念 定义定义3-1 若在某区间上若在某区间上 , ,则称则称 为为 在该区间上的一个在该区间上的一个原函数原函数)(xF)(xf上的一个原函数在区间是),(cossinxx上的一个原函数在区间是), 0(1lnxx例例 xxcossin),(xxx1)ln(), 0( x)()(xfxFxdxsin)6(Cxcosx2sec)7(Cx tanx2csc)8(Cxcotdxx211)9(CxarcCxcotarctandxx211 )10(CxCxarccosarcsin例例3-2 求求dxx1解解上上的的在在是是所所以以时时), 0(1ln
2、,1)(ln,0 xxxxx是是所所以以时时)ln(),1(1 )ln( ,0 xxxx上的上的在在)0 ,(1x.一个原函数所以一个原函数.), 0()0 ,( ln1xCxdxx例3-3: 求解解:212231(31)2132xdxxx dxxdxdxxxxC21(31)2xdxx例例3-43-4（1 1）求求421xdxx解解例例3-43-4（2 2）求求xdx2tan解解 ) 1(sectan22dxxxdxCxxtan 442222311111(1)1arctan3xxdxdxxxxdxxxxxC (32 )3(2 )xxxxedxe dxe dx(4)例例3-4（3）求求dxxx)
3、5(2Cxx232731071解解 dxxx)5(2dxxx)5(2125(2 )233ln(2 )ln2 1xxxxxeeeCeCe例例 求求dxxx221cossin解解 dxxx221cossin2222sincossincosxxdxxx2211()cossindxxxCxxcottan但是但是dxex2Cex2解决方法解决方法 利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量. 问题的提出Cedxexx三、换元积分法三、换元积分法 dxxedxexx)2(2122xdex2212xxeCe22)(因为因为xu 2.2121212CeCeduexuu第一类换元法第一类换元法(凑微分
4、法凑微分法)dxxxf)()(CxFdxxxf)()()()()(xuduuf注意注意 使用此公式的关键在于使用此公式的关键在于CxFxdxfdxxxf)()()()()(即将即将)()()()(xdxfdxxxf拼凑成定理定理3-13-1则有换元公式则有换元公式证明证明 ( )( )( )dFxF uxdx( )( ) ( ) ( )f uxfxxCxFduufxu)()()(可导具有原函数设)(),()(xuuFuf解解dxxa221dxaxa222111.122dxxa例例3-53-5（1 1）求求axdaxa2111duua2111axu Caxaarctan1Cuaarctan1dx
5、xtan例例3-53-5（2 2）求求解解dxxxdxxcossintanxxdcoscosxucosuduCu lnCx cosln对换元积分比较熟练以后对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量不必写出中间变量udxax例例3-63-6 求求解解)()(21axdaxdxaxCax23)(32dxxex 22例例 求求解解)(2222xdedxxexx Cex2dxxxln例例 求求解解dxxxdxxx1lnlndxxx)(lnlnCxxxd2)(ln21lnln.dxxa221例例3-73-7 求求解解dxxaxadxxa)(1122dxxaxaa)(1121)()(xaxadxaxada
6、21Cxaxaa)ln(ln21Cxaxaaln21xxd2sin1sin同理可得同理可得Cxxxdx)cotln(csccsc.secxdx例例3-83-8 求求解解1cosdxxdxxx2coscosxdxsecCxxsin1sin1ln21Cxx22sin1)sin1 (ln21Cxx)tanln(secCxxcossin1ln21例3-9： sin2x cos3x dx= sin2x cos2x d(sinx)= sin2x(1-sin2x)dsinx=1/3sin3x-1/5sin5x+C例3-10： sin2xdx= (1-cos2x)/2dx =x/2-sin2x/4+C例3-1
7、1 sin6xcos2xdx = 1/2(sin8x+sin4x)dx =-1/16cos8x-1/8cos4x+C解法解法1xdxxcossin)(sinsinxxdCx2sin21xdxxcossin例例3-123-12 求求解法解法2xdxxcossin)(coscosxxdCx2cos21解法解法3xdx2sin21xdxxcossinCx2cos41凑微分常见的类型凑微分常见的类型1)()()(. 1111nxdxfdxxxfnnnn)()(2)(. 2xdxfdxxxf)(ln)(ln)(ln. 3xdxfdxxxf)1()1()1(. 42xdxfdxxxf)(sin)(sinc
8、os)(sin. 5xdxfxdxxfxxxxdeefdxeef)()(. 6xdxfxdxxftan)(tansec)(tan. 72)(arctan)(arctan1)(arctan. 82xdxfdxxxfduufdxxxf)()()(化为积分化为积分第一类换元法是通过变量替换第一类换元法是通过变量替换 将积分将积分)(xu 第二类换元法是通过变量第二类换元法是通过变量 将积分将积分)(txdtttfdxxf)()()(化化为为积积分分2第二类换元法第二类换元法dtttfdxxf)( )()(设设 单调、可导，且，单调、可导，且， 则有则有)(tx0)( t例例3-133-13 求求.1
9、1dxx解解 令令2tx tdtdx2dxx11dttt12dttt11)1 (2tdtdt122Ctt)1ln(22Cxx)1ln(22 对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换去掉根式后再积分，也称换去掉根式后再积分，也称根式代换根式代换.例例3-143-14 求求.)1 (13dxxx解解 令令6tx dttdx56dxxx)1 (13dtttt)1 (6235dttt2216dttt2216dttt221116dttdt21166Ctt)arctan(6Cxx)arctan(666 若被积函数中含有若被积函数中含有 时时, 可采可采用三
10、角替换的方法化去根式用三角替换的方法化去根式, 这种方法称为这种方法称为三角代三角代换换.2222ax、xa三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律22) 1 (xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax tdtatadxxacoscos22解解 设设tdtadxcos 22,sin ttaxtataaxacossin22222dttatdta221222coscosCttatacossin2222Cxaxaxa22221arcsin2).0(22adxxa例例3-153-15 求求t22xa xadxax221tdtata2s
11、ecsec1tdtsec1)tanln(secCtttax22ax 122lnCaaxax解解 令令taxtantdtadx2sec 2,2t).0(122 adxax例例3-163-16 求求Caxx)ln(22)ln(1aCC解解 令令taxsec 2, 0ttdttadxtansecdxax221dttattatantansectdtsec1tanseclnCtttax22ax 122lnCaaxax).0(122 adxax例例3-173-17 求求Caxx22ln)ln(1aCC例3-18：求求解解:224axdxx2122242412221()1(1)xuaaxduudxxuua uudu 令令 x =1/u33222222223(1)()33a uaxCCaa xux1duudx21解解 令令例例3-193-19 求求dxxx112duuuu2211111dxxx112Cuuduarccos12Cx1arccos作业：作业：P79，习题三，习题三，1-236 结束语结束语