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1、药学高数微分方程1第1页，共19页，编辑于2022年，星期二实例2:质量为质量为 m 的物体从空中自由落下的物体从空中自由落下,物体下物体下落距离落距离 s 与时间与时间 t 的函数关系的函数关系.两端两端对对 t 积分积分设初速度和初始位置都是零设初速度和初始位置都是零,t=0,v=0,s=0得得 C1=0,C2=0,于是于是 s=1/2g t 2据牛顿第二定律据牛顿第二定律,2第2页，共19页，编辑于2022年，星期二未知函数为一元函数的微分方程称为未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程(ordinary differential equation).未知函数为多元函数的微分方程为未知
2、函数为多元函数的微分方程为偏微分方程偏微分方程方程中出现的未知函数的导数的最高阶数方程中出现的未知函数的导数的最高阶数,称为称为微分方程的微分方程的阶(order).使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解(solution of differential equation).N(t)=CektN(t)=N0ekts=1/2g t 23第3页，共19页，编辑于2022年，星期二 如果方程的解中含有任意常数如果方程的解中含有任意常数,且所含独立的且所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同任意常数的个数与方程的阶数相同,则称为则称为通解(general s
3、olution).确定任意常数的解为确定任意常数的解为特解特解(particular solution).定通解中常数的条件为定通解中常数的条件为初始条件(initial condition)当当 t=t0 时时 N(t0)=N0,t=0,v=0,s=0 微分方程的解的图形微分方程的解的图形 称为称为积分曲线.一族曲线N(t)=CektN(t)=N0ekts=1/2g t 24第4页，共19页，编辑于2022年，星期二第二节：第二节：一阶微分方程一阶微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程:分离变量得分离变量得:例例 求微分方程求微分方程 的通解的通解:解解:分
4、离变量得分离变量得:两边积分得两边积分得:5第5页，共19页，编辑于2022年，星期二例例9-1 求微分方程求微分方程 的通解的通解:解解:分离变量得分离变量得:简化为简化为6第6页，共19页，编辑于2022年，星期二解解:当当 y1 时时 分离变量得分离变量得 两端积分两端积分,得得 arcsiny=x+C y=sin(x+C)y=1 也是方程的解也是方程的解,但不是特解但不是特解.称为称为奇解奇解.其图形称为通解所对应的积分曲线族的其图形称为通解所对应的积分曲线族的包络包络.例例9-2 求微分方程求微分方程 的通解的通解:2 /2-/2-2 7第7页，共19页，编辑于2022年，星期二例例
5、9-3 求微分方程求微分方程 的通解的通解 解解:变形得变形得 分离变量分离变量 两边积分得两边积分得8第8页，共19页，编辑于2022年，星期二变量代换变量代换形如形如 的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程:令令 ,则则 y=ux 9第9页，共19页，编辑于2022年，星期二例例9-4 求微分方程求微分方程 满足满足 的特解的特解解解:令令 ,则则 y=ux 由初始条件由初始条件:C=1故特解为故特解为10第10页，共19页，编辑于2022年，星期二四、建立微分方程的几种方法四、建立微分方程的几种方法(一一)直译法直译法例例9-10 放射性元素衰变符合放射性元素衰变符合一级速率过程一
6、级速率过程(衰变衰变速度与存留的质量成正比速度与存留的质量成正比).某放射性元素初始量某放射性元素初始量为为 M0,求其衰变规律求其衰变规律.解解:设设 t 时刻该放射性元素的量为时刻该放射性元素的量为 M(t),比例系比例系数为数为 k(k0),则在时刻则在时刻 t 的消耗量为的消耗量为 M0-M(t).11第11页，共19页，编辑于2022年，星期二分离变量分离变量 镭的质量镭的质量 M 关于时间关于时间 t 的变化规律为的变化规律为:当变量关于时间的变化率与变量的量成正比时当变量关于时间的变化率与变量的量成正比时,这个这个变量总是按变量总是按指数规律指数规律变化的变化的.如如:化学中的一
7、级反应化学中的一级反应,早期肿瘤的生长模型早期肿瘤的生长模型,药药物的分解等物的分解等(指数生长模型指数生长模型)积分得积分得:12第12页，共19页，编辑于2022年，星期二例例9-11 一颗质量为一颗质量为m的子弹以的子弹以 200m/s 的速度打进一的速度打进一块木板块木板,2 秒钟后以秒钟后以 40m/s 的速度穿出该木板的速度穿出该木板.已知木已知木板对子弹的阻力大小与子弹的速度平方成正比板对子弹的阻力大小与子弹的速度平方成正比.求子求子弹在木板中的运动速度弹在木板中的运动速度解解:设子弹在木板中的运动速度为设子弹在木板中的运动速度为 v(t),由牛顿第二由牛顿第二定律定律13第13
8、页，共19页，编辑于2022年，星期二由初始条件由初始条件14第14页，共19页，编辑于2022年，星期二例例9-12 警方在上午警方在上午10:30 发现一具尸体发现一具尸体,测得其温度测得其温度是是 22,其所在房间的温度是其所在房间的温度是12,一小时后警方又测一小时后警方又测了一次尸体的温度了一次尸体的温度,这时降为这时降为17.假设尸体所在房假设尸体所在房间的温度不变间的温度不变,此人死亡时的温度为此人死亡时的温度为 37,求此人的死求此人的死亡时间亡时间.解解:设设 t 时刻尸体的温度为时刻尸体的温度为T(t),则由牛顿冷却定律则由牛顿冷却定律得得分离变量得分离变量得15第15页，
9、共19页，编辑于2022年，星期二由由 T(1)=17,求得求得 k=ln2由由 T(t0)=37,求得求得 死亡时间大约在上午死亡时间大约在上午9:11左右左右16第16页，共19页，编辑于2022年，星期二内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程的概念微分方程微分方程;定解条件定解条件;2.可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法:说明说明:通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解.有解有解后者是通解后者是通解,但不包含前一个解但不包含前一个解.例如例如,方程方程分离变量后积分分离变量后积分;根据定解条件定常数根据定解条件定常数.解解;阶阶;通解通解;特解特解 y=x 及
10、及 y=C 17第17页，共19页，编辑于2022年，星期二(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1)根据几何关系列方程根据几何关系列方程2)根据物理规律列方程根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解求通解,并根据定解条件确定特解并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤18第18页，共19页，编辑于2022年，星期二作业作业:P 335,:P 335,习题九习题九 1-5 1-5，7 7，8 8，1010，1111，12(1)-(11)12(1)-(11)19第19页，共19页，编辑于2022年，星期二