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1、第四节反比例函数,知识点一 反比例函数的概念一般地，形如y (k为常数，k0)的函数，叫做反比例函数其中反比例函数的自变量x的取值范围是_的一切实数,不等,知识点二 反比例函数的图象与性质,减小,增大,知识点三 反比例函数中k的几何意义如图，过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得矩形PMON的面积S|xy| _,|k|,反比例函数图象中有关图形的面积,(1)根据面积确定k时，一定要注意函数图象所在的象限，若图象在第二、四象限，则必须注意k为负值；(2)确定反比例函数图象与坐标轴围成的几何图形(三角形、四边形)的面积问题时，注意分割法的使用，一般都会以坐标轴或平行坐标轴的线
2、段作为底边，与其垂直的线段作为高来分割,知识点四 反比例函数解析式的确定方法：待定系数法(常常还会利用k的几何意义求解析式，具体见知识点三)步骤(1)设所求反比例函数解析式为y (k为常数，k0)；(2)找出满足反比例函数解析式的点P(a，b)；(3)将P(a，b)代入解析式得kab；(4)确定反比例函数解析式y .,考点一 反比例函数的图象与性质例1 (2018衡阳)对于反比例函数y ，下列说法不正确的是( )A图象分布在第二、四象限B当x0时，y随x的增大而增大C图象经过点(1，2)D若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在图象上，且x1x2，则y1y2【分析】 根据反比例函数的图象与性
3、质逐一判断,【自主解答】根据反比例函数y 的性质，当k0时，图象位于第二、四象限20，图象分布在第二、四象限，故A正确；当k0时，在每个象限内，y随x的增大而增大，20，当x0时，y随x的增大而增大，故B正确；把x1代入y 可得：y 2，故C正确；D没有说明点A、点B所在的象限，若点A在第二象限，点B在第四象限，即x10 x2时，则y1y2.故D错误故选D.,1点(2，4)在反比例函数y 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是()A(2，4) B(1，8)C(2，4) D(4，2)2(2018益阳)若反比例函数y 的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 _,k2,考点二 反比例函数k的几何意
4、义例2 (2016江西)如图，直线lx轴于点P，且与反比例函数y1 (x0)及y2 (x0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知OAB的面积为2，则k1k2 【分析】 由反比例函数k的几何意义分别确定APO和BOP的面积，进而用割补法表示AOB的面积，即可得解,【自主解答】 APx轴，点A在反比例函数y1 的图象上，SAOP k1，同理，SBOP k2.SAOBSAOPSBOP2， k1 k22，则k1k24.,双曲线问题中的重要结论(1)若已知过双曲线上某点向坐标轴作垂线所围成的矩形面积，求该点所在反比例函数的解析式，确定k值时，要根据双曲线所在象限确定k的符号(2)结论1：如图，S
5、OABS梯形ABCD.,结论2：如图，SOABSOACSBOC；如图，SOABSABHSAOMSBONS矩形OMHN；如图，SOABSOBCS梯形BMNC.,结论3：如图，矩形ABCO交反比例函数图象于E，F两点，则,3如图，直线yxm与双曲线y 相交于A，B两点，BCx轴，ACy轴，则ABC面积的最小值为_,6,核心考点 反比例函数与一次函数综合1命题规律分析：,2命题研究专家点拨：(1)确定两个函数交点，可联立方程组求解；若已知其中一个交点的坐标时，可将该交点坐标代入反比例函数解析式，从而确定反比例函数，再利用反比例函数解析式求另一个交点坐标，然后利用两点确定一次函数解析式；(2)涉及图形
6、面积时，常注意反比例函数系数k的几何意义的应用；(3)对于反比例函数与一次函数结合的不等式问题，关键是确定函数图象，然后确定图象的上方部分和下方部分，注意反比例函数自变量x的取值范围不包含0.,百变例题 (2018江西)如图，反比例函数y (k0)的图象与正比例函数y2x的图象相交于A(1，a)，B两点，点C在第四象限，CAy轴，ABC90.(1)求k的值及点B的坐标；(2)求tan C的值,【分析】 (1)求k值即确定反比例函数的解析式，从而只需得到对应的点A的坐标，将点A的横坐标代入正比例函数即可；要确定点B的坐标，可根据点B与点A关于原点对称求解；(2)求tan C，可先令AC交x轴于点
7、D，从而只需求tanAOD，根据点A的坐标可求解,【自主解答】解：(1)点A(1，a)在y2x的图象上，a212.又点A(1，2)在反比例函数y (k0)的图象上，2 ，即k212.由正比例函数、反比例函数图象性质知点A与点B关于原点O对称，点B的坐标为(1，2),(2)如解图，设AC与x轴交于点D.ACy轴，ADx轴A(1，2)，OD1，AD2.ABC90，CCAB90.AODDAO90，CAOD，tan Ctan AOD 2.,百变一：与不等式结合根据图象，直接写出不等式2x 的解集不等式的解集为x1或1x0.,百变二：与图形面积结合设BC交y轴于D，直接写出BOD的面积解：ACy轴，OD
8、BC.点B的坐标为(1，2)，OB ，tan C2，tanODB2，BD ，SBOD,百变三：确定函数解析式将ABC沿直线AB折叠，得到ABE，点E与点C对应，若反比例函数y 的图象经过点E，求m的值,解：AB2BO2 ，tan C2，BC AB ，AC BC5，点A的坐标为(1，2)，点C的坐标为(1，3)由折叠性质可知BEBC .CE2 ，过点E作EFAC于F，则CF2，EF4，点E的坐标为(3，1)，点E在反比例函数y 的图象上，m3.,百变四：与图形变换相结合将直线AB向下平移，使其经过点(0，2)，得到直线l.若直线l与反比例函数y 的图象在第一象限交于点P，求点P的坐标,解：直线l是由直线AB平移得到，设直线l的解析式为y2xb，将点(0，2)代入得b2，直线l的解析式为y2x2，,