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1、第四节等腰三角形与直角三角形,知识点一 等腰三角形等腰三角形：有_相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角_(简写成“等边对等角”)(2)等腰三角形的顶角 _、底边上的_、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)(3)等腰三角形是轴对称图形，有_条对称轴对称轴为底边上的高所在直线,两边,相等,平分线,中线,1,当已知等腰三角形的一个角时，要先确定该角是顶角还是底角，分情况进行讨论；当已知等腰三角形的两边时，除了确定哪条边作为腰或底外，一定不要忽视三角形的三边关系,等腰三角形的判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形(2)如果一个三角形有两个_相等，那么这两个角所对的
2、边也相等(简写成“等角对等边”),角,知识点二 等边三角形等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形等边三角形的性质(1)等边三角形的三个内角 _，每个内角都等于 _(2)等边三角形是轴对称图形，有_条对称轴,都相等,60,3,等边三角形的判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(2)三个角都相等的三角形是等边三角形(3)有一个角等于60的_是等边三角形(4)有两个角等于 _的三角形是等边三角形,等腰三角形,60,知识点三 直角三角形直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角 _(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 _(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边
3、的_,互余,一半,一半,(4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 _(5)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么_,30,a2b2c2,直角三角形的判定(1)有一个角是 _的三角形是直角三角形(2)有两个角 _的三角形是直角三角形(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 _，那么这个三角形是直角三角形(4)如果三角形一边上的_等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形,90,互余,a2b2c2,中线,知识点四 等腰直角三角形性质(1)两直角边_；(2)两锐角相等且
4、都等于_；(3)斜边长等于直角边长的 倍判定(1)顶角为90的等腰三角形；(2)有两个角为45的三角形；(3)有一个锐角为45的直角三角形；(4)两直角边相等的直角三角形.,相等,45,考点一 等腰三角形的性质与判定命题角度等腰三角形性质求角度例1 (2017江西)如图是一把园林剪刀，把它抽象为图，其中OAOB，若剪刀张开的角为30，则A 度,【分析】 要求A的度数，可在AOB中利用三角形内角和求解，而OAOB，可利用等腰三角形的性质得到AB，再由对顶角相等求解【自主解答】 由对顶角相等可知AOB30，OAOB，AB，由三角形的内角和为180可知，ABAOB180，A (180AOB)75.,
5、命题角度等腰三角形判定与分类讨论思想例2 (2016江西)如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB8，AD7，E为AB上一点，AE5，现要剪下一张等腰三角形纸片(AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 ,【分析】 由点P在长方形ABCD的边上，分点P在AD上，点P在BC上，点P在CD上，分情况讨论来确定底边长【自主解答】AB8，AD7，AE5，当点P在AD上时，若APE是等腰三角形，则APAE5，此时等腰三角形APE的底边PE的长为5 ；当点P在BC上时，只能是AEPE5，则在RtBPE中，BE3，PE5，由勾股定理得BP4，则底边AP的长为4 ；当点P在C
6、D上时，此时APEP，即点P在AE的垂直平分线上，此时底边AE5.故答案为：5 或4 或5.,对于等腰三角形多解题，一般会已知一条边，然后在平面内找一点，使得该点与这条边的两端点组成的图形是等腰三角形，解题时，可按以下方式确定：分别以线段的两端点为圆心，以线段长为半径画圆；作线段的垂直平分线，从而确定点的位置简称“两圆一中垂”；分别确定该三角形的三边长，再按两两相等分三类讨论计算,考点二 等边三角形的性质与判定例3(2019哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，ABAD，BCDC，A60，点E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CEAB，若AB8，CE6，则BC的长为 ,【分析】
7、 要求BC的长，由题意ABAD，BCCD，可知AC垂直平分BD，从而只需连接AC交BD于O，求BO和CO即可【自主解答】如解图，连接AC交BD于点O，ABAD，BCDC，A60，AC垂直平分BD，ABD是等边三角形，BAODAO30，ABADBD8，BODO4，CEAB，BAOACE30，CED60，DAOACE30，AECE6，DE2.CEDBADADB60，DEF是等边三角形，DFEF2，OFODDF2，在RtOFC中，OFCDFE60，OC OF2 ，在RtBOC中，BC 故答案为2 .,考点三 直角三角形的性质与判定命题角度直角三角形性质的计算例4 (2020教材课后题改编)如图，在R
8、tABC中，A90，BD平分ABC交AC于D，DE恰好垂直平分BC，若AD3，则CE的长为 【分析】 由DE垂直平分BC得到CDBD，从而得到CCBD，再由BD平分ABC得到CBDABD，结合三角形内角和可得C，即可得到ABD，再由直角三角形性质可求AB，即可得到BC，进而得到CE的长,【自主解答】 DE垂直平分BC，DBDC，CDBC，BD平分ABC，DBCDBA，ABC2C，A90，ABCC90，CCBDABD30，在RtABD中，AD3，ABD30，AB3 .在RtABC中，AB3 ，C30，BC2AB6 ，CEBE3 .故填3 .,命题角度直角三角形判定与分类讨论思想例5 (2015江
9、西)如图，在ABC中，ABBC4，AOBO，P是射线CO上的一个动点，AOC60，则当PAB为直角三角形时，AP的长为 【分析】 根据PAB是直角三角形，且点P是射线CO上一点，可分APB90，ABP90分类讨论,【自主解答】 ABBC，BACBCA90，当点P在CO的延长线上时，若APB90时(如解图)，AOBO，POBO.AOC60，BOP60，BOP为等边三角形ABBC4，APABsin 604 2 ；当ABP90时(如解图)，AOCBOP60，BPO30，BP,在RtABP中，AP 2 ；当点P在线段CO上时，如解图，AOBO，APB90，POAO.AOC60，AOP为等边三角形，APAO2，故AP的长为2 或2 或2.,对于直角三角形判定问题，一般的解题思路是：先用未知数表示该三角形的三条边的长，然后找该三角形中变化的角，将该角确定为直角，从而该角的两边为直角边，利用直角三角形勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”列方程求解有几个变化的角就列几个对应的方程，逐一求解，不要遗漏,