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1、课时作业36数列的综合应用一、选择题1已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则b2(a1a2)()A20 B30C35 D40解析：1，a1，a2,9是等差数列，所以a1a21910；1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b199，因为bb20，所以b23，所以b2(a1a2)30，故选B.答案：B2已知等比数列an中的各项都是正数，且5a1，a3,4a2成等差数列，则()A1 B1C52n D52n1解析：设等比数列an的公比为q(q0)，则依题意有a35a14a2，即a1q25a14a1q，q24q50，解得q1或q5.又q0，因此q5，所以q2n
2、52n.答案：C3在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则OP1P2的面积是()A1 B2C3 D4解析：根据等差、等比数列的性质，可知x12，x23，y12，y24.P1(2,2)，P2(3,4)SOP1P21.答案：A4已知函数yloga(x1)3(a0，a1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列an的第二项与第三项，若bn，数列bn的前n项和为Tn，则T10等于()A. B.C. D.解析：由yloga(x1)3恒过定点(2,3)，即a22，a33，又an为等差数列，a
3、nn，nN*.bn，T101.答案：B5如图所示，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)x(x0)的图象上若点Bn的坐标为(n,0)(n2，nN*)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2a3a10()A208 B216C212 D220解析：由Bn(n,0)，得Cn，令xn，即x2x10，得xn或x，所以Dn，所以矩形AnBnCnDn的周长an224n，则a2a3a104(2310)216，故选B.答案：B6对于函数yf(x)，部分x与y的对应关系如下表：x123456789y375961824数列xn满足x11，且对任意xN*，点(xn，xn1
4、)都在函数yf(x)的图象上，则x1x2x3x4x2 013x2 014的值为()A7 549 B7 545C7 539 D7 535解析：由已知表格列出点(xn，xn1)，(1,3)，(3,5)，(5,6)，(6,1)，(1,3)，即x11，x23，x35，x46，x51，数列xn是周期数列，周期为4,2 01445032，所以x1x2x2 014503(1356)137 549.答案：A二、填空题7数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为_解析：由题意知aa1a7，即(a12d)2a1(a16d)，a12d，等比数列bn的公比q2.答案
5、：28函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_.解析：依题意得，函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线方程是ya2ak(xak)令y0，得xak，即ak1ak，因此数列ak是以16为首项，为公比的等比数列，所以ak16k125k，a1a3a5164121.答案：219在等差数列an中，a25，a621，记数列的前n项和为Sn，若S2n1Sn对nN*恒成立，则正整数m的最小值为_解析：由an为等差数列，a25，a621得，d4，an54(n2)4n3，而数列S2n1Sn有(S2n3Sn1)(S2n1Sn)S2n3
6、S2n1SnSn10得S2n1Sn单调递减，其最大值为S3S1，即得m，所以m最小值为5.答案：5三、解答题10设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.解：(1)令n1代入得a12(负值舍去)(2)由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*得Sn(n2n)(Sn3)0.又已知各项均为正数，故Snn2n.当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a12也满足上式，所以an2n，nN*.(3)证明：kN*,4k22k(3k23k)k2kk(k1)0，4k22k3k23k，.0，所以bn是单调递增数列已知各项均为正数的数列an满足：a2aanan1，且a2a42a34，其中nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足：bn，是否存在正整数m，n(1m0，所以2anan10，即2anan1.所以数列an是公比为2的等比数列由a2a42a34，得2a18a18a14，解得a12.故数列an的通项公式为an2n(nN*)(2)因为bn，所以b1，bm，bn.若b1，bm，bn成等比数列，则2，即.由，可得，所以2m24m10，从而1m1，所以m2，此时n12.故当且仅当m2，n12时，b1，bm，bn成等比数列5