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1、课时作业57椭圆一、选择题1已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6C4 D12解析：由椭圆的定义知：|BA|BF|CA|CF|2a(F是椭圆的另外一个焦点)，周长为4a4.答案：C2已知椭圆1，长轴在y轴上若焦距为4，则m等于()A4 B5C7 D8解析：将椭圆的方程转化为标准形式为1，显然m210m，即m6，且()2()222，解得m8.答案：D3椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21解析：若a29，b24k，则c，由，即，解得k；由a24k，b29，则c，由，即，解得k21.答
2、案：C4已知椭圆：1(0bb0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F230，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为PF1F2的中位线，所以OMPF2，所以PF2F1MOF190.由于PF1F230，所以PF12PF2，由勾股定理得F1F2PF2，由椭圆定义得2aPF1PF23PF2a，2cF1F2PF2c，所以椭圆的离心率为e.答案：D6已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点且c2，则此椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：设P(m，n)，(cm，n
3、)(cm，n)m2c2n2c2，2c2m2n2，把P(m，n)代入椭圆1得b2m2a2n2a2b2，把代入得m20，a2b22a2c2，b22c2，a23c2，e.又m2a2，a22c2，e.综上，此椭圆离心率的取值范围是，故选C.答案：C二、填空题7若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_解析：因为方程1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|1a30，解得3ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析：如图，MF1F2中，MF1F260，MF2F130，F1MF290，又|F1F2|2c，
4、|MF1|c，|MF2|c，2a|MF1|MF2|cc，得e1.答案：19已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆C相交于A，B两点若3，则k_.解析：根据已知，可得a2c2，则b2c2，故椭圆方程为1，即3x212y24c20.设直线的方程为xmyc，代入椭圆方程得(3m212)y26mcyc20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据3，得(cx1，y1)3(x2c，y2)，由此得y13y2，根据韦达定理y1y2，y1y2，把y13y2代入得，y2，3y，故9m2m24，故m2，从而k22，k.又k0，故k.答案：三、解答题10已知椭圆1(ab0)
5、，点P在椭圆上(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|AO|，求直线OQ的斜率解：(1)因为点P在椭圆上，故1，可得.于是e21，所以椭圆的离心率e.(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为ykx.设点Q的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理得x.由|AQ|AO|，A(a,0)及y0kx0得，(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00.而x00，故x0.代入，整理得(1k2)24k24.由(1)知，故(1k2)2k24，即5k422k2150，可得k25.所以直线OQ的斜率k.11(2014北京卷)已知椭圆C：x22y24.(1)
6、求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，所以c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0b0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. B.C. D.解析：令c.如图，据题意，|F2P|F1F2|，F1PF
7、230，F1F2P120，PF2x60，|F2P|23a2c.|F1F2|2c，3a2c2c，3a4c，即椭圆的离心率为.答案：C2已知椭圆C1：1(ab0)与圆C2：x2y2b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：椭圆上长轴端点向圆外引两条切线PA，PB，则两切线形成的角APB最小，若椭圆C1上存在点P使切线互相垂直，则只需APB90，即APO45.sinsin45，解得a22c2，e2，即e，而0e1，eb0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若
8、ADF1B，则椭圆C的离心率等于_解析：由题可知直线AB方程为xc，则A(c，)，B(c，)，|AB|.ABx轴，ODx轴，ABOD，又O为F1F2中点，D为F1B中点，又ADF1B，|AF1|AB|，则，整理得4a2c2b44b4.2acb2(a2c2)c22aca20e22e0(e1)(e)0，解得e.答案：4(2014江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为(，)，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解：(1)由题意，F2(c,0)，B(0，b)，|BF2|a，又C(，)，1，解得b1，椭圆方程为y21.(2)直线BF2方程为1，与椭圆方程1联立方程组，解得A点坐标为(，)，则C点坐标为(，)，kF1C，又kAB，由F1CAB得()1，即b43a2c2c4，(a2c2)23a2c2c4，化简得e.8