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1、突破练(一)1.已知函数f(x)sin xcos xcos 2x，ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)1.(1)求角B的大小；(2)若a，b1，求c的值解(1)因为f(x)sin 2xcos 2xsin ，所以f(B)sin 1，又，所以2B，所以B.(2)法一由余弦定理b2a2c22accos B得c23c20，所以c1，或c2.法二由正弦定理得sin A，所以A或A，当A时，C，所以c2；当A时，C，所以c1.2.如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于
2、点H，连接GH.(1)求证：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值(1)证明因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又EFAB，所以ABGH.(2)解在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90.又PB平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设BABQBP2，则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C
3、(0,1,0)，P(0,0,2)所以(1,2，1)，(0,2，1)，(1，1,2)，(0，1,2)设平面EFQ的一个法向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取y11，得m(0,1,2)设平面PDC的一个法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取z21，得n(0,2,1)，所以cosm，n.因为二面角DGHE为钝角，所以二面角DGHE的余弦值为.3某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表所示：(单位：万美元) 项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120
4、其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m6,8另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税假设生产出来的产品都能在当年销售出去(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?请你作出规划解(1)由年销售量为x件，按利润的计算公式，得生产A，B两种产品的年利润y1，y2分别为y110x(20mx)(10m)x20(xN,0x200)，y218x(8x40)0.05x20.05x210x40(xN,0x120)(2)因为6m8，所以1
5、0m0，函数y1(10m)x20是0,200上的增函数，所以当x200时，生产A产品有最大利润为(10m)200201 980200m(万美元)又y20.05(x100)2460(xN,0x120)所以当x100时，生产B产品有最大利润为460万美元因为y1maxy2max1 980200m4601 520200m所以当6m7.6时，可投资生产A产品200件；当m7.6时，要生产A产品与生产B产品均可；当7.6b0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求AB
6、D面积取最大值时直线l1的方程解(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以|AB|22.又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以|PD|.设ABD的面积为S，则S|AB|PD|，所以S，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.5数列an满足：a12a2nan4，nN*.(1)求a3的值；(2)求数列an前n项和Tn；(3)令b1a1，bnan(n2)，
7、证明：数列bn的前n项和Sn满足Sn22ln n.(1)解a11，a12a22，a2，a12a23a34，a3.(2)解n2时，a12a2(n1)an14，与原式相减，得nan，an，n1也符合，Tn2.(3)证明n2时，bnanan故Snia1a2a3ana1a2a3anTn2，只需证明222ln n，nN*.对于任意自然数kN，令x(1,0)时，ln0，即ln(k1)ln k.k1时，ln 2ln 1，k2时，ln 3ln 2.kn1时，ln 2ln(n1)11(ln 2ln 1)(ln 3ln 2)ln nln(n1)，即11ln n，所以n2时，222ln n，综上nN时，Sn22ln n.6