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1、突破练(三)1在ABC中，D为边AB上一点，DADC，已知B，BC1.(1)若DC，求角A的大小；(2)若BCD的面积为，求边AB的长解(1)BCD中，由正弦定理得，则sinBDC，则BDC或BDC.又DADC，A或A.(2)由已知得SBCDBCBDsin B，得BD.又由余弦定理得DC2BC2BD22BCBDcos B，得DC.由DADC得ABADDBDCDB.2.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值(1)证明PA平面ABCD，BD平面ABCD，PA
2、BD.同理由PC平面BDE，可证得PCBD.又PAPCP，BD平面PAC.(2)解如图，分别以射线AB，AD，AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系由(1)知BD平面PAC，又AC平面PAC，BDAC. 故矩形ABCD为正方形，ABBCCDAD2.A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(2,0，1)，(0,2,0)，(2,2,0)设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z)，则即取x1得n(1,0,2)BD平面PAC，(2,2,0)为平面PAC的一个法向量cosn，.设二面角BPCA的平面角为，由图知0，cos ，sin .tan 3，
3、即二面角BPCA的正切值为3.3设函数f(x)x2(2a1)xa23a(aR)(1)若f(x)在0,2上的最大值为0，求a的值；(2)若f(x)在闭区间，(1，即a时，f(x)maxf(0)a23a0，故a0(舍去)或a3.综上，得a1或a3.(2)由题意得；即方程f(x)x在上有两个不相等的实根方程可化为x22axa23a0.设g(x)x22axa23a，则解得ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值解(1)设F(c,0)，由，知ac.过点F
4、且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程1，解得yb，于是b ，解得b，又a2c2b2，从而可得a，c1，所以椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.因为直线过椭圆内的点，无论k为何值，直线和椭圆总相交由根与系数的关系可得则x1x2，x1x2，因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.5已知正项数列an的首项a11，前n项和Sn满足an(n2)(1)求证：为等差数列，并求数列an的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，若对任意的nN*，不等式4Tna2a恒成立，求实数a的取值范围(1)证明因为an，所以SnSn1，即1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，得n，所以ann(n1)2n1(n2)，当n1时，a11也适合，所以an2n1.(2)解因为，所以，Tn.Tn，要使不等式4Tna2a恒成立，只需2a2a恒成立，解得a1或a2，故实数a的取值范围是(，12，)4