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1、突破练(四)1已知向量p(2sin x，cos x)，q(sin x,2sin x)，函数f(x)pq.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)1，c1，ab2，且ab，求a，b的值解(1)f(x)2sin2x2sin xcos x1cos 2x2sin xcos xsin 2xcos 2x12sin 2xcos 2x12sin1.由2k2x2k，得kxk.f(x)的单调增区间为(kZ)(2)由于f(C)2sin11，sin1，C是三角形的内角，2C.2C，即C.cos C，即a2b27.将ab2代入可得a27，解得a23，或a24.a或
2、a2，b2或b.ab，a2，b.2如图，在四棱锥PABCD中，已知PB底面ABCD，BCAB，ADBC，ABAD2，CDPD，异面直线PA和CD所成角等于60.(1)求证：面PCD面PBD；(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；(3)在棱PA上是否存在一点E，使得二面角ABED的余弦值为？若存在，指出点E在棱PA上的位置，若不存在，说明理由(1)证明PB底面ABCD，CD平面ABCD，PDCD，又CDPD，PDPBP，PD，PB平面PBD.CD平面PBD，又CD平面PCD，平面PCD平面PBD.(2)解如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
3、，设BCa，BPb，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，D(2,2,0)，P(0,0，b)(2,2，b)，(2,2a,0)，CDPD，0，442a0，a4，又(2,0，b)，(2，2,0)，异面直线PA和CD所成角等于60，即，解得b2，(0,4，2)，(0,2,0)，(2,0，2)设平面PAD的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则由得取n1(1,0,1)，sin ，直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.(3)解假设存在，设，且E(x，y，z)，则(x，y，z2)(2,0，2)，E(2，0,22)，设平面DEB的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则由得取n2(1,1
4、，)，又平面ABE的法向量n3(0,1,0)，由cos ，得，解得或2(不合题意)存在这样的E点，E为棱PA上的靠近A的三等分点3已知二次函数f(x)ax2bxc满足：对任意实数x，都有f(x)x，且当x(1,3)时，有f(x)(x2)2成立(1)证明f(2)2；(2)若f(2)0，求f(x)的表达式；(3)设g(x)f(x)x，x0，)，若g(x)图象上的点都位于直线y的上方，求实数m的取值范围(1)证明由条件知f(2)2恒成立，又取x2时，f(2)(22)22恒成立，f(2)2.(2)解4ac1,2b1，b，c14a.f(x)x恒成立，即ax2(b1)xc0恒成立，a0，24a(14a)0
5、，即(8a1)20.解得a，b，c，f(x)x2x.(3)解由已知，f(x)图象总在直线yx上方，即直线与抛物线无公共点由消去y得x2xx，即x24(1m)x20.16(m1)280，解得1mb0)的上下焦点，其中F1是抛物线C2：x24y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|.(1)试求椭圆C1的方程；(2)与圆x2(y1)21相切的直线l：yk(xt)(t0)交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足，求实数的取值范围解(1)由C2：x24y知F1(0,1)，c1，设M(x0，y0)(x00，所以211，所以022的最小正整数，则m2，并且对任意1k2.于是，BmAmdm211，Bm1minam，Bm2.故dm1Am1Bm1220，与dm11矛盾所以对于任意n1，有an2，即非负整数列an的各项只能为1或2.因为对任意n1，an2a1，所以An2.故BnAndn211.因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且am1，即数列an有无穷多项为1.6