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1、 初中数学 九年级上册 1/7 第一章综合测试第一章综合测试 一、选择题（共一、选择题（共 1010 题；共题；共 3030 分）分）1.下列四个命题中，错误的命题是（）A.四条边都相等的四边形是菱形；B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形；C.有三个角是直角的四边形是矩形；D.一组对边平行且相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形.2.如图，在菱形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上的点，且BABE.若80ABC=，则BAE 的大小是（）A.30 B.40 C.70 D.80 3.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变，如图，改变正方形 ABC
2、D 的内角，正方形 ABCD 变为菱形 ABCD，若30D AB=，则菱形 ABCD的面积与正方形 ABCD 的面积之比是（）A.1 B.12 C.22 D.32 4.如图，矩形纸片 ABCD 中，6 cmAB=，8 cmBC=，现将其沼作对折，使得点 B 落在边 AD 上的点 B 处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CE 的长为（）A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 初中数学 九年级上册 2/7 5.如图，在矩形 ABCD 中，AE 平分BAD交 BC 于点 E，5ED=，3EC=，则矩形的周长为（）A.18 B.20 C.22 D.24 6.如图，矩形 ABCD 中，对
3、角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若4BE=，6AF=，则 AC的长为（）A.4 5 B.6 3 C.2 30 D.20 33 7.如图，在菱形 ABCD 中，5AB=，6AC=，过点 D 作DEBA，交 BA 的延长线于点 E，则线段 DE 的长为（）A.125 B.185 C.4 D.245 8.如图，矩形 ABCD 中，4AB=，2AD=，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中点，连接 PB，则PB 的最小值是（）A.2 B.4 C.2 D.2 2 初中数学 九年级上册 3/7 9.如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFC 的边长
4、分别是 5 和 3，且点 E、C 分别在 AD、CD 边上，H 为 BF 的中点，连接 HG，则 HG 的长为（）A.4 B.15 C.17 D.2 2 10.如图，在矩形 ABCD 中，把矩形 ABCD 绕点 C 旋转，得到矩形 FEGH，且点 E 落在 AD 上，连接 BE，BG，交CE 于点 H，连接 FH，若 FH 平分 DEFG，则下列结论：AECHEH+=；2DECABE=；BHHG=；2CHAB=，其中正确的个数是（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 题；共题；共 1818 分）分）11.矩形两条对角线的夹角为 60，矩形的较短
5、的一边为 5，则矩形的对角线的长是_.12.菱形两邻角的比为1:3，边长为 2则该菱形的面积为_.13.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，连接 AE、AF、EF，45EAF=，3BE=，4CF=，则正方形的边长为_.初中数学 九年级上册 4/7 14.如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，DHAB于点 H，连接 OH，35CAD=，则HOB的度数为_.15.如图，将两条宽度为 3 的直尺重叠在一起，使60ABC=，则四边形 ABCD 的面积是_.16.如图，矩形 ABCD 中，12AB=，点 E 是 AD 上的一点，6AE=，
6、BE 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 F，连接 EF 交 CD 于点 G.若 G 是 CD 的中点，则 BC 的长是_.三、解答题（共三、解答题（共 7 7 题；共题；共 5252 分）分）17.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，DEBF，且分别交对角线 AC 于点 E，F，连接 BE，DF.（1）求证：AECF=；（2）若BEDE=，求证：四边形 EBFD 为菱形.18.如图，在矩形 ABCD 中，过对角线 BD 的中点 O 作垂线 EF，与边 AD，BC 分别交于点 E，F，连接 BE，DF.初中数学 九年级上册 5/7 （1）求证：四边形 EBFD 是菱形；（2）若8AD=，4A
7、B=，求四边形 EBFD 的周长.19.如图，在正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上的一动点（不与点 B，C 重合），点 B 关于直线 AP 的对称点为 E，连接 AE.连接 DE 并延长交射线 AP 于点 F，连接 BF.（1）若BAP=，直接写出ADF的大小（用含的式子表示）；（2）求证：BFDF；（3）连接 CF，用等式表示线段 AF，BF，CF 之间的数量关系，并证明.20.如图，矩形 ABCD 中，8AB=，10AD=.（1）E 是 CD 上的点，将ADE沿折痕 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上点 F 处求 DE 的长；（2）点 P 是线段 CB 延长线上的点，连接 PA，
8、若PAF是等腰三角形，求 PB 的长；初中数学 九年级上册 6/7 （3）M 是 AD 上的动点，在 DC 上存在点 N，使MDN沿折痕 MN 折叠，点 D 落在 BC 边上点 T 处，请直接写出线段 CT 长度的最大值与最小值.21.如图，在长方形 OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，点 A，点 C 分别在x轴，y轴上，点 B 坐标为（4，6），点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 OCB 方向运动，到点 B 停止.设点 P 运动的时间为t（秒）.（1）点 A 的坐标为_；（2）当1t=秒时，点 P 的坐标_；（3）当点 P 在 OC 上运动，请直接写出点 P 的坐标
9、（用含有t的式子表示）；（4）在移动过程中，当点 P 到y轴的距离为 1 个单位长度时，求t的值.22.现有与菱形有关的三幅图，如下：（1）（感知）初中数学 九年级上册 7/7 如图，AC 是菱形 ABCD 的对角线，60B=，E、F 分别是边 BC、CD 上的中点，连结 AE、EF、AF.若2AC=，则CECF+的长为_.（2）（探究）如图，在菱形 ABCD 中，60B=.E 是边 BC 上的点，连结 AE，作60EAF=，边 AF 交边 CD 于点 F，连结 EF.若2BC=，求CECF+的长.（3）（应用）在菱形 ABCD 中，60B=.E 是边 BC 延长线上的点，连结 AE，作60E
10、AF=，边 AF 交边CD 延长线于点 F，连结 EF.若2BC=，EFBC时，借助图直接写出AEF的周长.23.已知：在矩形 ABCD 中，10AB=，12BC=，四边形 EFGH 的三个顶点 E、F、H 分别在矩形 ABCD 边 AB、BC、DA 上，2AE=.（1）如图，当四边形 EFGH 为正方形时，求GFC的面积；（2）如图，当四边形 EFGH 为菱形，且BFa=时，求GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，GFC的面积能否等于 2？请说明理由.初中数学 九年级上册 1/18 第一章综合测试第一章综合测试 答案解析答案解析 一、1.【答案】B【解析】A.四条边都相等的四边形
11、是菱形，所以 A 选项为真命题；B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以 B 选项为假命题；C.有三个角是直角的四边形是矩形，所以 C 选项为真命题；D.一组对边平行且相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形，所以 D 选项为真命题.故答案为：B 2.【答案】C【解析】菱形 ABCD，80ABC=；1402ABECBDABC=，BABE=，180702ABEBAEBEA=.故答案为：C.3.【答案】B【解析】解：根据题意可知菱形ABC D的高等于 AB 的一半，菱形ABC D的面积为212AB，正方形 ABCD 的面积为2AB.菱形ABC D的面积与正方形 ABCD 的面积之比是12.故答案为
12、：B.4.【答案】A【解析】解：矩形 ABCD，190BBAB=，矩形纸片 ABCD 中，现将其沼作对折，使得点 B 落在边 AD 上的点 B 处，145BAEB AE=，8ADBC=，ABE是等腰直角三角形，初中数学 九年级上册 2/18 6ABBE=，CEBCBE=，862CE=.故答案为：A.5.【答案】C【解析】四边形 ABCD 是矩形，90C=，ABCD=；ADBC；5ED=，3EC=，222259DCDECE=，4DC=，4AB=；ADBC，AEBDAE=；AE平分BAD，BAEDAE=，BAEAEB=，4BEAB=，矩形的周长()2 43422=+=.故答案为：C.6.【答案】C
13、【解析】解：如图，连接 AE，设 EF 与 AC 交点为 O，EF是 AC 的垂直平分线，OAOC=，AECE=，四边形 ABCD 是矩形，90B=，ADBC，初中数学 九年级上册 3/18 OAFOCE=，在AOF和COE中，AOFCOEOAOCOAFOCE=，()AOFCOE ASA，6AFCE=，6AECE=，4610BCBECE=+=+=，2236 162 5ABAEBE=，2220 1002 30ACABBC=+=+=，故答案为：C.7.【答案】D【解析】如图.四边形 ABCD 是菱形，6AC=，ACBD，132OAAC=，2BDOB=，5AB=，224OBABOA=，28BDOB=
14、，ABCDSAB DEAC BD=菱形，初中数学 九年级上册 4/18 116 8242255AC BDDEAB=.故答案为：D.8.【答案】D【解析】解：如图：当点 F 与点 C 重合时，点 P 在1P处，11CPDP=，当点 F 与点 E 重合时，点 P 在2P处，22EPDP=，12PPCE且12PPCE=.当点 F 在 EC 上除点 C、E 的位置处时，有DPFP=，由中位线定理可知：1PPCE且1PPCF=，点 P 的运动轨迹是线段12PP，当12BPPP时，PB 取得最小值，矩形 ABCD 中，4AB=，2AD=，E 为 AB 的中点，CBE、ADE、1BCP为等腰直角三角形，12
15、CP=.145ADECDECPB=，90DEC=，2190DP P=，1245DPP=，2190P PB=，即112BPPP，BP的最小值为1BP的长，在等腰直角1BCP中，12CPBC=，12 2BP=，初中数学 九年级上册 5/18 PB的最小值是2 2.故答案为：D.9.【答案】C【解析】解：延长 GF 交 AB 于点 P，过点 H 作MNCD于点 M，交 AB 于点 N.四边形 ABCD 为正方形，ABCD，BCCD；MNAB，四边形 DEFG 为正方形；FGCD，FGHMBC，H为 BF 的中点；1153122PNBNCMGMCG=（）HN为三角形 BFP 的中位线；112HNFP=
16、，5 14MH=，在直角三角形 GHM 中，由勾股定理得 22221417GHGMHM=+=+=.故答案为：C.10.【答案】C【解析】解：如图，作BMEC于 M.初中数学 九年级上册 6/18 CBCE=，CBECEB=，ADBC，AEBCBE=，AEBMEB=，90ABME=，BEBE=，()BEABEM AAS，AEEM=，ABBM=.90BMHGCH=，BHMGHC=，BMABCG=，()BMHGCH AAS，MHCH=，BHHG=，EHEMMHAECH=+=+，故符合题意，90AEBABE+=，22180AEBABE+=，180DECAEC+=，2AECAEB=，2180DECAEB
17、+=，2DECABE=，故符合题意，FH平分EFG，初中数学 九年级上册 7/18 45EFH=，90FEH=，ABEFEH=，EHHMCH=，CHAB，故不符合题意.故答案为：C.二、11.【答案】10【解析】解：如图：四边形 ABCD 是矩形，12OAAC=，12OBBD=，ACBD=OAOB=，060A B=，AOB是等边三角形，5OAOBAB=，210ACOA=，即矩形对角线的长为 10.故答案为：10.12.【答案】2 2【解析】解：如图：过点 D 作DEAB于点 E.初中数学 九年级上册 8/18 菱形 ABCD 的两个邻角A与B的比是1:3，45A=，而90DEA=，ADE为等腰
18、直角三角形.2ADDE=，又2ABAD=，222DEAD=，菱形 ABCD 的面积222 2AB DE=，故答案为：2 2.13.【答案】6【解析】如图，延长 CB 至点 G，使BGDF=，并连接 AG，在ABG和ADF中，90ABADABCDGBDF=，()ABGADF SAS，AGAF=，GABDAF=，45EAF=，45BAEDAFBAEGABGAE+=+=，EAFGAE=，在AEG和AEF中，AGAFEAGEAFAEAE=，()AEGAEF SAS，GEEF=，设正方形边长为x，则4BGDFx=，1GEEFx=，3CEx=，初中数学 九年级上册 9/18 在RtCEF中，()()222
19、341xx+=，解得，6x=，正方形的边长为 6，故答案为：6.14.【答案】70 【解析】解：在菱形 ABCD 中，35CADCAB=，ACBD，BODO=又DHAB 90902 3520ADHBAD=9035BDHADHCAD=又ACBD，BODO=OHOD=ODHDHO=2 3570HOB=故答案为：70 15.【答案】6 3【解析】纸条的对边平行，即ABCD，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形，两张纸条的宽度都是 3，33SABCDABBC=四边形，ABBC=，平行四边形 ABCD 是菱形，即四边形 ABCD 是菱形.如图，过 A 作AEBC，垂足为 E，初中数学 九年级上册 1
20、0/18 60ABC=，906030BAE=，2ABBE=，在ABE中，222ABBEAE=+，即222134ABAB=+，解得2 3AB=，2 3 36 3SABCDBC AE=四边形.故答案是：6 3.16.【答案】10.5【解析】解：在矩形 ABCD 中，ADBC=，12ABCD=，90DDCF=，G为 CD 中点，DGCG=，又EGDFGC=，EDGFCG，DECF=，12EGGFEF=，设BCx=，则6DEADAEBCAEx=，11622DGCGCDAB=，26BFBCCFBCDEx=+=+=，又BE的垂直平分线交 BC 的延长线于点 F，初中数学 九年级上册 11/18 11322
21、EGGFEFBFx=，在RtEDG中，()()222663xx+=，解得：10.5x=.则 BC 的长是 10.5 故答案为：10.5.三、17.【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADCB=，ADCB，DAEBCF=，DEBF，DEFBFE=，ADE和CBF中，DAEBCFAEDCFBADCB=()ADECBF AAS，AECF=（2）证明：由（1）知ADECBF.则DEBF=，又DEBF，四边形 EBFD 是平行四边形，BEDE=，四边形 EBFD 为菱形 18.【答案】（1）证明：EF为 BD 中垂线，初中数学 九年级上册 12/18 BODO=，EBED=，BFDF=，
22、矩形 ABCD，EDBF，EDBDBF=，EODFOB=，EODFOB，EDBF=，EBEDBFDF=，四边形 EBFD 是菱形.（2）解：设EDx=，8AD=，8AEx=，菱形 EBFD，EBEDx=，矩形 ABCD，90A=，在RtBAE中，222AEABEB+=，即()22284xx+=，解得5x=.420EBFDCED=即得 ED，从而求出菱形的周长.19.【答案】（1）解：由轴对称的性质得：EAPBAP=，AEAB=，四边形 ABCD 是正方形，90BAD=，ABAD=，902DAE=，ADAE=，初中数学 九年级上册 13/18 ()()111809024522ADFAEDDAE=
23、+=+=；（2）解：四边形 ABCD 是正方形，90BAD=，ABAD=，点 E 与点 B 关于直线 AP 对称，AEFABF=，AEAB=，AEAD=，ADEAED=，180AEDAEF+=，在四边形 ABFD 中，180ADEABF+=，180BFDBAD+=，90BFD=，BFDF；（3）解：线段 AF，BF，CF 之间的数量关系为2AFBFCF+，理由如下：过点 B 作BMBF交 AF 于点 M，如图所示：四边形 ABCD 是正方形，ABCB=，90ABC=，ABMCBF=，点 E 与点 B 关于直线 AP 对称，90BFD=，45MFBMFE=，BMF是等腰直角三角形，BMBF=，2
24、FMBF，初中数学 九年级上册 14/18 在AMB和CFB中ABCBABMCBFBMBF=，()AMBCFB SAS，AMCF=，AFFMAM=+，AFBFCF=+.20.【答案】10AFAD=，FEDE=（折叠对称性）在RtABF中，6BF=，10AF=4FC=所以在RtECF中，()22248DEEF+=，5DE=；（2）解：当APAF=时，ABPF，6PBBF=；当PFAF=时，则610PB+=，解得4PB=；若APPF=，在RtAPB中，222APPBAB=+，解得73PB=.综合可得6PB=或 4 或73；（3）解：当点 N 与 C 重合时，8CTMD=最大；当点 M 与 A 重合
25、时，10ATAD=，8AB=，1064CT=最小，21.【答案】（1）（4，0）（2）（0，2）（3）当点 P 在 OC 上运动，22OPtt=，(0 2)Pt，.（4）当点 P 到y轴的距离为 1 个单位长度时，此时 P 在 CB 上，初中数学 九年级上册 15/18 P的运动路程16 17OCCPAB=+=+=+=，27t=，3.5t=.【解析】解：（1）长方形 OABC，B 坐标为（4，6），(4 0)A，故答案为：（4，0）.（2）当1t=时，1 22OP=，此时 P 在y轴上，()0 2P，故答案为：（0，2）.22.【答案】（1）2（2）探究：如图，连结 AC.四边形 ABCD 是
26、菱形，ABBC=，ABCD.180BBCD+=.60B=，ABC是等边三角形，120BCD=.60BACACB=，ABAC=.60ACFB=.60EAF=，BACCAEEAFCAE=.BAECAF=.ABEACF.初中数学 九年级上册 16/18 BECF=.2CECFBC+=.（3）应用：连接 AC，如图所示：四边形 ABCD 是菱形，ABBC=，ABCD.180BBCD+=.60B=，ABC是等边三角形，120BCD=.60BACACB=，ABAC=.60CADB=.60EAF=，CADDAEEAFDAE=.CAEDAF=.ACEADF=，ACAD=ACEADF.CEDF=，AEAF=60
27、EAF=，AEF为等边三角形 EFBC，60ECF=2CFCE=2CDBC=2CE=2222422 3EFCFCE=初中数学 九年级上册 17/18 AEF的周长为6 3.（1）感知：AC是菱形 ABCD 的对角线，60B=，ABBCACCDAD=，E、F 分别是边 BC、CD 上的中点，2BC=，2CECFBC+=；23.【答案】（1）解：如图 1，过点 G 作GMBC于M.在正方形 EFGH 中，90HEF=，EHEF=，90AEHBEF+=.90AEHAHE+=，AHEBEF=.又90AB=，AHEBEF.同理可证MFGBEF.2GMBFAE=.10FCBCBF=.1102102GFCS
28、FC GM=.（2）解：如图 2，过点 G 作GMBC交 BC 的延长线于 M，连接 HF.ADBC，AHFMFH=.EHFG，EHFGFH=.初中数学 九年级上册 18/18 AHEMFG=.又90AGMF=，EHGF=，AHEMFG.2GMAE=.()1122122GFCSFC GMaa=（3）解：GFC的面积不能等于 2.解法一：若2GFCS=，则122a=，10a=.此时，在BEF中，2222(102)10164FBEBF=+=+=.在AHE中，222221642160 12AHEHAEEFAE=，AHAD，即点 H 已经不在边 AD 上，故不可能有2GFCS=.解法二：GFC的面积不能等于 2.点 H 在 AD 上，菱形边 EH 的最大值为2 37，BF的最大值为 2 21.又函数12GFCSa=的值随着a的增大而减小，GFCS的最小值为122 21.又122 21 2，GFC的面积不能等于 2.