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1、2.3 空间向量及其运算的坐标表示 知识梳理1、在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使。在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标2、空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示加法减法数乘，数量积a1b1a2b2a3b3共线（）a1b1，a2b2，a3b3垂直（）a1b1a2b2a3b30模夹角cos3、设，是空间中任意两点，则，这是空间两点间的距离
2、公式知识典例题型一 空间向量的坐标运算例1设，向量，则（ ）A B C3D4【答案】C【分析】根据，结合向量的坐标运算可求得参数的值，再结合向量的加法与模长运算即可求解【详解】，故选：C.巩固练习1、已知点，向量，则点坐标是（ ）ABCD【答案】D【分析】设点，由点和点表示出向量，构造等式求解即可.【详解】设点，则向量，所以，所以点.故选：D2、（多选）对于任意非零向量，以下说法错误的有( )A若，则B若，则CD若，则为单位向量【详解】对于A选项，因为，则，A选项正确；对于B选项，若，且，若，但分式无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；对于D选项，若，则，
3、此时，不是单位向量，D选项错误.故选：BD.题型二 向量坐标求解直线关系例 2棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.（1）求证：EFCF；（2）求与所成角的余弦值；（3）求CE的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】建立空间直角坐标系，得出的坐标，由坐标运算得出的坐标，根据数量积公式证明EFCF；由数量积公式求出与所成角的余弦值；再由模长公式得出CE的长.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz则所以（1）证明：因为，所以，即EFCF.（2）因为.（3）巩固练习1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1
4、，BB1的中点，则_，EF=_.【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法得出，从而得出，最后由模长公式得出.【详解】以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系设正方体棱长为1，则.故答案为：；2、如图，长方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A0BCD【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，表示，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.【详解】如图所以所以异面直线与所成角的余弦值故选：A巩固提升1、已知向量，若，则_【答案】【分析】根据空间向量的加法和减法的坐标运算,可求得和,结合空间向量垂直的坐标关系,即可求得的值.【详解】向量,则,因为所以,
5、代入可得即,解得故答案为: 2、已知a、b是异面直线，且ab，分别为取自直线a、b上的单位向量，且，则实数k的值为_.【答案】6【分析】根据向量垂直其数量积为0，转化为基底的运算，即可得答案；【详解】由，得0，又分别为取自直线a、b上的单位向量，()()0，.故答案为：6.3、在空间直角坐标系中，为的中点，为空间一点且满足，若，则（ ）A9B7C5D3【解析】设，由，整理可得：，由，得，化简得，以上方程组联立得，则. 故选：D.4、设ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有()A.a2Ba2C.a2Da2【答案】C【解析】建系如图则(a,0,0)(a，a，a)a2，(a,0,0)(a，
6、a,0)a2，(0，a,0)(0，a，a)a2，(a,0,0)(a，a,0)a2，故只有C正确5、正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心若向量Axy，则实数x，y的值分别为()Ax1，y1 Bx1，yCx，y Dx，y1【答案】C【解析】Axy=,所以x=y=6、平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于()A5B6C4D8【答案】A【解析】设a，b，c，则abc，|2a2b2c22ab2bc2ca25，因此|5.故选A.7、如图，原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，（1）求向量的坐标（2）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）过作于，求得的值，得到点的坐标，进而求得的坐标；（2）分别求得向量的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）过作于，则，所以的坐标为，又因为，所以（2）依题设有点坐标为，所以，则与的夹角的余弦值为