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1、集合间的关系一、集合间的包含关系1.子集集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集.记作：，当集合A不包含于集合B时，记作.用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：2.真子集若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集.记作： (或).规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.“相等”集合，则A与B中的元素是一样的，因此A=B.任何一个集合是它本身的子集，记作.二、全集、补集1.全集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为
2、全集，通常记作U.2.补集对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：例1：集合间的“包含”关系集合，集合，那么间的关系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不对【解答】B【解析】先用列举法表示集合A、B，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A是非负偶数集，即.集合B中的元素.而（n为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即n1,3,5,7.由依次得0,2,6,12，即.综上知，应选B.例2：全集、补集已知全集，求CuA.【解答】 当时，CuA= ；当时，CuA= ；当时
3、，CuA= .【解析】当时，方程无实数解.此时.CuA=U，当时，二次方程的两个根，必须属于U.因为，所以只可能有下述情形：当时，此时 CuA= ；当时，此时， CuA= .综上所述，当时，CuA= ；当时，CuA= ；当时，CuA= .例3：集合间的关系设集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【解答】（1）或；（1）2【解析】首先化简集合A，得.（1）由，可知集合B为，或为、，或为.若时，解得.若,代入得.当时，符合题意；当时，也符合题意.若，代入得，解得或.当时，已讨论，符合题意；当时，不符合题意.由，得或.（2）.又，而B至多只有两个根，因此应有AB，由（1）知.巩固练习一、选择题1
4、已知集合A0，1，Bz|zx+y，xA，yA，则B的子集个数为（）A3B4C7D8【解答】D【解析】由题意可知，集合Bz|zx+y，xA，yA0，1，2，则B的子集个数为：238个.2已知集合MxR|5|2x3|为正整数，则M的所有非空真子集的个数是（）A30B31C510D511【解答】C【解析】集合MxR|5|2x3|为正整数，故5|2x3|0，整理得|2x3|5，即52x35，解得1x4，由于集合M为正整数，所以M，0，1，2，3，故集合M的所有非空真子集的个数是2925103已知集合Ax|x23x+20，Bx|0x6，xN，则满足ACB的集合C的个数为（）A4B8C7D16【解答】B【
5、解析】集合Ax|x23x+201，2，Bx|0x6，xN1，2，3，4，5，满足ACB的集合C有：1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，5，1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5，1，2，3，4，5，共8个4已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足MPN，则下列结论不正确的是（）AUNUPBNPNMC（UP）MD（UM）N【解答】D【解析】集合M，N，P为全集U的子集，且满足MPN，作出韦恩图，如右图所示由韦恩图，得：UNUP，故A正确；NPNM，故B正确；（UP）M，故C正确；（UM）N，故D错误5已知集合Ax|mx22x+m0仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为（）A1，1B
6、1，0，1C0，1D【解答】B【解析】由题意，当m0时，方程为2x0，解得x0，满足A0仅有两个子集；当m0时，方程有两个相等实根，所以44m20，解得m1；所以实数m的构成的集合为：0，1，1.二、填空题6已知函数f（x）x2+ax+a，AxR|f（x）x，BxR|ff（x）f（x），A，AB，则实数a的取值范围是 【解答】或【解析】方法一：设fn（x）ffn1（x），f0（x）x，由题意方程f（x）x的存在实根，且都在函数yf（x）的对称轴右侧（含对称轴）因此有；解得或方法二：设x1，x2（x1x2）是方程f（x）x的两个实根，则f（x）x（xx1）（xx2）f（f（x）f（x）（f（x）
7、x1）（f（x）x2）f（x）x+xx1f（x）x+xx2（xx1）（xx2）（xx1+1）（xx2+1）由题意，对任意x1xx2时，f（f（x）f（x）0即x1x2+10，x2+ax+ax，即x2+（a1）x+a0，x1+x21a，x1x2a，（a1）24a0解得：或故答案为：或.7当集合Ax|（mxm28）（x1）0，xZ中的元素个数最少时，实数m的取值范围是 【解答】【解析】集合Ax|（mxm28）（x1）0，xZ因为不等式（mxm28）（x1）0，当m0时不等式变为8（x1）0，不等式解集为，这个范围内有无限多个整数不符合集合元素个数有最值问题；当m0时，不等式变为x（m+）（x1）0
8、，因为m0，m+，显然m+1所以原不等式解集（，1）（m+，+）区间内有无限多个整数不符合集合元素个数有最值问题；当m0时，不等式变为x（m+）（x1）0，因为m0，m+，显然m+1，所以原不等式解集（m+，1），区间内有有限个整数符合集合元素个数有最值问题又因为（6，5），即6m+5即6m+m2+6m+804m2，且m+5m2+5m+80mR所以解得故，m的范围8方程|ax1|x的解集为A，若，则实数a的取值范围是 【解答】a1或a1或a【解析】方程两边平方得a2x22ax+1x2，整理得（a21）x22ax+10，当a1时，方程为|x1|x，解得x，A，满足题意；当a1时，方程为|x+1|
9、x，解得x，A，满足题意；当a210时，方程等价于（a+1）x1（a1）x10，要使，两根为正根时，只要02并且02，解得a且a，所以a；当0并且0时，只要02，解得a1；当0并且0时，解得a1所以，则实数a的取值范围是a1或a；故答案为：a1或a1或a9已知集合Ax|x29x+140，集合Bx|ax+20，若BA，则实数a的取值集合为 【解答】【解析】Ax|x29x+1402，7，因为BA，所以若a0，即B时，满足条件若a0，则B ，若BA，则2或7，解得a1或则实数a的取值的集合为故答案为：10已知集合Ax|2x7，Bx|m+1x2m1且B，若ABA，则m的取值范围是 【解答】2m4【解析
10、】据题意得BA，故有2m+12m17，转化为不等式组 ，解得 2m4，故m的取值范围是的取值范围是2m4.三、解答题11已知集合Ax|（x2m）（x2m+2）0，其中mR，集合Bx|0（1）若m1，求AB；（2）若ABA，求实数m的取值范围【解答】（1）ABx|2x2；（2）【解析】集合Ax|2m2x2m，由，则，解得2x1，即Bx|2x1，（1）m1，则A0，2，则ABx|2x2（2）ABA，即AB，可得，解得，故m的取值范围是12已知集合Aa，a1，B2，y，Cx|1x14（1）若AB，求y的值；（2）若AC，求a的取值范围【解答】（1）1或3；（2）3a5【解析】（1）若a2，则A1，2
11、，y1若a12，则a3，A2，3，y3综上，y的值为1或3（2）Cx|1x14x|2x5，集合Aa，a1，AC，解得3a5a的取值范围是3a513已知集合Ax|1x2，Bx|2a3xa2，且AB，求实数a的取值范围【解答】a1【解析】集合Ax|1x2，Bx|2a3xa2，且AB，当B时，2a3a2，解得a1，当B时，无解综上，实数a的取值范围为a114已知全集UR，集合Ax|x2+3x40，Bx|m1xm+1（1）若m1，求（UB）A；（2）若BA，求m的取值范围【解答】（1）（UB）Ax|4x0；（2）3m0【解析】（1）Ax|x2+3x40x|4x1，m1，Bx|0x2，可得UBx|x0或
12、x2，即（UB）Ax|4x0（2）BA，解得3m0，m的取值范围为3m015已知集合Mx|1x2，集合Nx|3x4（1）求RN，M（RN）；（2）设集合Ax|axa+2，若NA，求实数a的取值范围【解答】（1）RNx|x3或x4，M（RN）x|1x2；（2）2a3【解析】（1）集合Mx|1x2，集合Nx|3x4RNx|x3或x4M（RN）x|1x2（2）集合Ax|axa+2，集合Nx|3x4，NA，解得2a3实数a的取值范围是2a316已知集合Ax|2a+1x3a5，Bx|x1或x16（1）若A为非空集合，求实数a的取值范围；（2）若AB，求实数a的取值范围【解答】（1）a6；（2）a6或【解
13、析】（1）若A则有2a+13a5，解得：a6可得实数a的取值范围为a6；（2）AB则有如下三种情况：1）A，即3a52a+1，解得：a6； 2）A，A（，1，则有，解得：a无解； 3）A，A（16，+，则有，解得： 综上可得AB时实数a的取值范围为a6或.17已知集合Ax|1x3，集合Bx|2mx1m（1）当m1时，求AB；（2）若AB，求实数m的取值范围；（3）若AB，求实数m的取值范围【解答】（1）ABx|2x3；（2）m2；（3）m0【解析】（1）当m1时，Bx|2mx1mx|2x2，且Ax|1x3，ABx|2x3；（2）Ax|1x3，集合Bx|2mx1m由AB知：；解得m2，即实数m的取值范围为m2；（3）由AB得：若2m1m，即时，B，符合题意，若2m1m，即时，需或；解得或，即；综上知：m0；即实数m的取值范围是m018设Ax|x23x+20，Bx|x2ax+20，BA（1）写出集合A的所有子集；（2）若B为非空集合，求a的值【解答】（1）集合A的所有子集是：，1，2，1，2；（2）a3【解析】（1）Ax|x23x+201，2，集合A的所有子集是：，1，2，1，2（2）Bx|x2ax+20，BA，B非空，当集合B中只有一个元素时，由a280，可知，此时，不符合题意；当集合B中有两个元素时，AB，a3综上可知：a3