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1、集合的含义及表示一、集合1.集合的概念：一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集.（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它；（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象.2.集合中元素的3个特征：(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(
2、3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.3.元素与集合间的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA；(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作.4.集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作；(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集；(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.5.常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.二、集合的表示方法1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的
3、方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，.3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例1：集合的概念及元素的性质集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？【解答】是【解析】由分母有理化得，.由题中集合可知均有，即.例2：元素与集合的关系下列六个关系中，正确的关系是 .（1）0 （2）01，1 （3）0【解析】（2
4、）【解析】（1）0不是正整数，故错误；（2）0不是集合1，1中的元素，故正确；（3）空集是一个集合，使用的符号错误，故错误；例3：集合中元素的性质，则M=( )A. 2，3 B. 1，2，3，4 C. 1，2，3，6 D. -1，2，3，4【解答】D【解析】集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以；由，所以-1a4；当a=-1时，符合题意；当a=0时，不符合题意；当a=1时，不符合题意；当a=2时，符合题意；当a=3时，符合题意；当a=4时，符合题意.故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M=-1，2，3，4，选项D正确.例4：集合的表示方法分别用列举法和描述法表示下列集合：(
5、1)方程的所有实数根组成的集合；(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.【解答】；【解析】(1)设方程的实数根为x，并且满足条件因此，用描述法表示为；方程有两个实数根；因此，用列举法表示为.(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15x25，因此，用描述法表示为；大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，因此，用列举法表示为.巩固练习一、选择题1下列四个集合中，是空集的是( )A BC D【解答】D 【解析】选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根2集合可化简为（ ）A
6、B C D【解答】 B 【解析】解方程得，因为，故选B3集合 用描述法可表示为（ ）A B C D【解答】 C 【解析】集合A表示所有的正奇数，故C正确4若以集合中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形【解答】D 【解析】元素的互异性二、填空题5若集合Ax|x2（a+2）x+2a0，xZ中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是 【解答】【解析】x2（a+2）x+2a0 且a0x22x+2a（x+1）令f（x）x22x+2；g（x）a（x+1）Ax|f（x）g（x），xZyf（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线
7、；而yg（x）一次函数，图象是过一定点（1，0）的动直线又xZ，a0数形结合，可得：6用列举法表示集合 【解答】A3，6，6，3，2，1【解析】根据xN，且可得：x0时，；x1时，；x3时，；x4时，；x5时，；x8时，；A3，6，6，3，2，1故答案为：3，6，6，3，2，17设，则集合中所有元素之积为 【解答】【解析】 ，解得，代入，得，由韦达定理，得所有元素之积为8.设a，bR，集合，则ba= 【解答】ba=2【解析】 ， a+b=0或a=0（舍去，否则无意义）， a+b=0， 1，a=1， a+b=0，b=1， ba=2三、解答题9已知集合Aa+2，2a2+a，若3A，求a的值【解答】
8、【解析】集合Aa+2，2a2+a，若3A，可得3a+2或32a2+a，解得a1或经验证a1不成立，a的值为：10设集合Ax|kx24x+20，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A【解答】见解析【解析】若集合A中只有一个元素，则k0，或168k0，解得：k0，k2，当k0时，集合Ax|4x+20，当k2时，集合Ax|2x24x+20111已知方程ax2+x+b0（1）若方程的解集为1，求实数a，b的值；（2）若方程的解集为1，3，求实数a，b的值【解答】（1）a0，b1或ab；（2）a，b【解析】（1）若方程的解集为1，则若a0，则1+b0，解得a0，b1；若a0，则a+
9、1+b0且14ab0，解得ab综上所述，a0，b1或ab（2）依题意得：1+3，13，解得a，b12已知集合M2，3x2+3x4，x2+x4，若2M，求x的值【解答】x3或x2【解析】当3x2+3x42时，3x2+3x60，x2+x20，x2或x1经检验，x2，x1均不合题意当x2+x42时，x2+x60，x3或2经检验，x3或x2均合题意x3或x213已知集合AxR|ax23x+20，aR（1）若集合A是空集，求a的取值范围；（2）若集合A中只有一个元素，求a的值，并写出此时的集合A【解答】（1）a；（2）见解析【解析】（1）若A是空集，则方程ax23x+20无解，此时98a0，即a；（2）
10、若A中只有一个元素则方程ax23x+20有且只有一个实根当a0时方程为一元一次方程，满足条件当a0，此时98a0，解得：aa0或a若a0，则有A；若a，则有A.14试分别用列举法和描述法表示下列集合（1）由方程x（x22x3）0的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数【解答】（1）1，0，3；（2）3，4，5，6【解析】（1）用描述法表示为：x|x（x22x3）0；由x（x22x3）0得x1或x0或x3，所以用列举法表示解集为1，0，3；（2）用描述法表示为：x|2x7，xZ；用列举法表示为3，4，5，615已知集合Ax|x2+x+p0（1）若A，求实数p的取值范围；（2）若A中的元
11、素均为负数，求实数p的取值范围【解答】（1）p；（2）0p【解析】（1）A，14p0，即p，故实数p的取值范围为p；（2）由题意得，解得，0p，故实数p的取值范围是0p16设集合求证：（1）一切奇数属于集合； （2）偶数不属于； （3）属于的两个整数，其乘积仍属于【解答】见解析【解析】证明：（1）设为任意奇数，则，因为，且均为整数， ，由的任意性知，一切奇数属于（2）首先我们证明如下命题：设：，则与具有相同的奇偶性以下用反证法证明假设，则存在，使得若与同为奇数，则必定为奇数，而表示偶数，矛盾；若与同为偶数，则必定被4整除，但表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾综上所述，形如的偶数不属于（3）设，则存在，使得又因为，均为整数，.