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1、含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种：1.按二次项系数的符号分类，即；2.按判别式的符号分类，即0，0，0；3.按方程的根、的大小分类，即，.例1：讨论二次项系数解不等式：【解答】见解析【解析】，解方程得，当时，解集为；当时，不等式，解集为；当时，解集为.例2：谈论根的判别式解不等式：【解答】见解析【解析】，当，即时，解集为R，当时，即时，解集为；当或，即时，此时两根分别为，此时，不等式的解集为.例3：讨论方程解的大小解关于的不等式：【解答】见解析【解析】原不等式可转化为，即，当时，不等式化为，不等式的解集为；当时，不等式化为，即
2、，不等式的解集为；当时，不等式化为，不等式的解集为.综上，原不等式的解集为当时，；当时，；当时，.例4：由解集求参数已知关于的不等式的解集为，求实数的值.【解答】【解析】原不等式可化为，由题意得，解得，.巩固练习一选择题1不等式x2+ax+b0（a，bR）的解集为x|x1xx2，若|x1|+|x2|2，则（）A|a+2b|2B|a+2b|2C|a|1D|b|1【解答】D【解析】不等式x2+ax+b0（a，bR）的解集为x|x1xx2，则x1、x2是对应方程x2+ax+b0的两个实数根；，x1x2b，又|x1|+|x2|2，不妨令a1，b0，则x10，x21，但|a+2b|1，A选项不成立；令a
3、2，b1，则x1x21，但|a+2b|4，B选项不成立；令a0，b1，则x11，x21，但|a|0，C选项不成立；bx1x2，D选项正确2若存在唯一的正整数x0，使关于x的不等式x33x2ax+5a0成立，则a的取值范围是（）ABCD【解答】B【解析】设f（x）x33x2ax+5a，则存在唯一的正整数x0，f（x0）0，再设g（x）x33x2+5，h（x）a（x+1），两个函数图象如图：要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）0，只要，即，解得；3若关于x的不等式ax2+bx10的解集是x|1x2，则不等式bx2+ax10的解集是（）ABCD【解答】C【解析】由题意可知，1和2是关于x的方程a
4、x2+bx10的两实根，由韦达定理可得，解得，所以，不等式bx2+ax10，即为，即3x2x20，解得.4设0b1+a，若关于x的不等式（xb）2（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A1a0B0a1C1a3D3a6【解答】C【解析】关于x 的不等式（xb）2（ax）2 即 （a21）x2+2bxb20，0b1+a，（a+1）xb（a1）x+b0 的解集中的整数恰有3个，a1，不等式的解集为，所以解集里的整数是2，1，0 三个32，23，2a2b3a3，b1+a，2a21+a，a3，综上，1a3，二填空题5设关于x的不等式ax2+8（a+1）x+7a+160，（aZ），只有有限个整数解，且
5、0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为 【解答】10【解析】设yax2+8（a+1）x+7a+16，其图象为抛物线对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y0而整数解只有有限个，所以a0因为0为其中的一个解可以求得a，又aZ，所以a2，1，则不等式为2x28x+20和x2+90，可分别求得和3x3，x为整数，x4，3，2，1，0和x3，2，1，0，1，2，3全部不等式的整数解的和为106已知关于x的不等式ax2ax+20在R上恒成立，则实数a的取值范围是 【解答】0a8【解析】若a0，则原不等式等价为20，此时不等式恒成立，所以a0若a0，则要使不等式ax2ax+20恒
6、成立，则有，即，所以，解得 0a8综上满足不等式ax2ax+20在R上恒成立的实数a的取值范围0a87不等式x2ax+30存在正整数解，则a的取值范围为 【解答】【解析】由题意知，xN*，由x2ax+30，可得，构造函数，其中xN*，则af（x）min，由双勾函数的单调性可知，函数f（x）在x1或x2处取得最小值，因为f（1）4，f（2），所以，函数f（x）的最小值为，所以，.8若关于x的不等式ax2+x2a0的解集中至少有4个整数解，则实数a的取值范围为 【解答】【解析】当a0时，原不等式即为x0，符合该不等式的整数解有无数个，合乎题意！当a0时，符合不等式ax2+x2a0的整数解也有无数个
7、，合乎题意！当a0时，则1+8a20，则方程ax2+x2a0有两个实数解，设函数f（x）ax2+x2a，则f（0）2a0，f（1）1a，f（2）2a+20（1）若f（1）0时，即当a1时，则整数解由大到小至少有1、0、1、2，而f（2）2a20，矛盾！（2）若f（1）0时，即当a1时，则整数解由大到小至少有0、1、2、3，则f（3）7a30，解得，又a0，所以0综上所述，9已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|1x2，则不等式cx2bx+a0的解集为 【解答】【解析】关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|1x2，由题意得：a0，且1+23，122，即b3a，c2a，故不等式cx
8、2bx+a0可化为：2x2+3x+10，化简得（2x+1）（x+1）0，解得：1x所求不等式的解集为.10若不等式|8x+9|7和不等式ax2+bx20的解集相同，则a+b 【解答】13【解析】|8x+9|778x+97，解得2x，因为不等式|8x+9|7和不等式ax2+bx20的解集相同，2和是方程ax2+bx20的两根，由韦达定理得：，解得，故a+b13.三解答题11若aR，解关于x的不等式ax2+（a+1）x+10【解答】见解析【解析】当a0时，x1 当a0时，当a0时，解得 当a0时，当a1时，x1当0a1时，或x1当a1时，x1，或当a0时，解集是；当a0时，解集是（1，+）；当0a
9、1时，解集是；当a1时，解集是.12若不等式ax2+5x20的解集是（1）求不等式ax25x+a210的解集（2）已知二次不等式ax2+bx+c0的解集为，求关于x的不等式cx2bx+a0的解集【解答】（1）（3，）；（2）（3，2）【解析】（1）因为等式ax2+5x20的解集是，所以和2是一元二次方程ax2+5x20的两根，解得a2，不等式ax25x+a210可化为2x25x+30，即2x2+5x30，（2x1）（x3）0，解得3x，所以不等式ax25x+a210的解集为（3，）；（2）由（1）知a2，二次不等式2x2+bx+c0的解集为，和是一元二次方程2x2+bx+c0的两根，解得b，c
10、，所以不等式cx2bx+a0可化为：，即x2+5x+60，解得3x2所以关于x的不等式cx2bx+a0的解集为（3，2）13已知不等式ax23x+64的解集为x|x1，或xb，（1）求a，b；（2）解不等式ax2（ac+b）x+bc0【解答】（1）a1，b2；（2）见解析【解析】（1）因为不等式ax23x+64的解集为x|x1，或xb，所以1和b是方程ax23x+20的两个实数根，且b1；由根与系数的关系，得，解得a1，b2；（2）所求不等式ax2（ac+b）x+bc0化为x2（2+c）x+2c0，即（x2）（xc）0；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|2xc；当c2时，不等式（x
11、2）（xc）0的解集为x|cx2；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为14若不等式ax2+bx+c0的解集为x|x2或x3，求关于x的不等式cx2+bx+a0的解集【解答】【解析】不等式ax2+bx+c0的解集为x|x2或x3，ax2+bx+ca（x+2）（x3）ax2ax6a，且a0；ba，c6a，不等式cx2+bx+a0变形为6ax2ax+a0，即6x2+x10，解得；不等式cx2+bx+a0的解集为15已知不等式ax2+5x+b0的解集为x|1x6，解不等式bx2+ax（bax）x【解答】x|0x【解析】不等式ax2+5x+b0的解集为x|1x6，1和6是方程ax2+5x+b0的实数根，解a1，b6，不等式bx2+ax（bax）x化为6x2x（6+x）x，即5x27x0，解得0x，不等式的解集为x|0x