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1、 考点三十七 直线及其方程知识梳理1直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围为0，180)2直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan .(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直线的斜率公式为k.(3) 直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜
2、角是90的直线斜率不存在它们之间的关系如下：009090900不存在k03直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含垂直于x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用4过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直线方程(1)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为xx1；(2)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为yy1；(3)若x1x20，且y1y2时，直线即为y轴，方程为x0；(4)若x1x2
3、，且y1y20时，直线即为x轴，方程为y0.5线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式典例剖析题型一 直线的倾斜角和斜率例1已知两点A(3，)，B(，1)，则直线AB的倾斜角等于_答案 解析 斜率k，又0，)，.变式训练 经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y_答案 3解析 由y2，得y2tan1.y3.解题要点 求斜率的常见方法：1若已知倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率2若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式
4、k(x1x2)求斜率3若已知直线的一般式方程axbyc0，一般根据公式k求斜率题型二 直线方程的求解例2已知ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2，1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程解析(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得BC的方程为，即x2y40.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k
5、22.由(2)知，点D的坐标为(0,2)由点斜式得直线DE的方程为y22(x0)，即2xy20.变式训练 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0)，从而cos ，则ktan .故所求直线方程为y(x4)即x3y40或x3y40.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为1，又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.(3)当斜率不存在时，所求
6、直线方程为x50；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点线距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.解题要点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况题型三 直线的截距式方程有关的易错题例3过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
7、_答案xy10或3x2y0解析(1)当截距不为0时，设所求直线方程为1，即xya0.点P(2，3)在直线l上，23a0，a1，所求直线l的方程为xy10.(2)当截距为0时，设所求直线方程为ykx，则有32k，即k，此时直线l的方程为yx，即3x2y0.综上，直线l的方程为xy10或3x2y0.变式训练 过点M(3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_答案 yx或xy80解析 (1)当直线过原点时，直线方程为yx；(2)当直线不过原点时，设直线方程为1，即xya.代入点(3，5)，得a8.即直线方程为xy80.解题要点 1.弄清截距和距离的区别：截距不是距离，而是一个坐标值，纵截距
8、是直线与y轴交点的纵坐标值，横截距是直线与x轴交点的横坐标值截距可为一切实数，而距离是一个非负数2.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解3.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.当堂练习1已知直线l：yx，则直线l的倾斜角为_答案 解析 k1.故倾斜角为.2过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为_答案 2xy10解析 因所求直线与直线x2y30垂直，故可设为2xym0.又因为所求直线过点(1,3)，所以有2(1)3m0
9、，解得m1.故所求直线方程为2xy10.3. 如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3 的大小关系是_答案 k1k3k2解析 直线l1的斜率角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k3k2.4（2015山东理）一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为_答案或解析由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或
10、k.5过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为_答案xy30或x2y40解析由题意可设直线方程为1.则解得ab3，或a4，b2.课后作业一、 填空题1过两点(1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为_答案 解析 过两点(1,1)和(0,3)的直线方程为 ，即y2x3，令y0得x，即为所求2已知直线l1：(a1)x2y10与l2：xay30平行，则a等于_答案 1或2解析 由l1l2，得(a1)a210，即a2a20，解得a1或a2.当a1时，l1：2x2y10，即2x2y10，l2：xy30，显然l1l2.当a2时，l1：x2y10，l2：x2y30，显然l1l2，综上
11、，a1或2.3已知A(3,4)，B(1,0)，则过AB的中点且倾斜角为120的直线方程是_答案 xy20解析 由题意可知A、B两点的中点坐标为(1,2)，且所求直线的斜率ktan120直线方程为y2(x1)，即xy20.4直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是_答案 2或1解析 由题意，知a0，令x0，得y2a；令y0，得x，故2a，解得a2或a1.5直线xcos140ysin4010的倾斜角是_答案50解析将直线xcos140ysin4010化成xcos40ysin4010，其斜率为ktan50，倾斜角为50.6直线l过点(1,2)且与直线2x3y40平行，则l的方程是_答
12、案 2x3y80解析 2x3y40的斜率为k，所求的直线方程为y2(x1)，即2x3y80.7若过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为_答案1解析kMN1，m1.8已知直线PQ的斜率为，将直线绕点P顺时针旋转60所得的直线的斜率为_答案解析直线PQ的斜率为，则直线PQ的倾斜角为120，所求直线的倾斜角为60，tan60.9若过点P(1a,1a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是_答案 (2,1)解析 ktan . 为钝角，0，即(a1)(a2)0，故2a1.10过两直线x3y100和y3x的交点，并且与原点距离为1的直线方程为_答案 x1或4x3y
13、50解析 设所求直线为(x3y10)(3xy)0，整理得(13)x(3)y100.由点到直线距离公式得1，解得3.所求直线为x1或4x3y50.11直线xcosy20的倾斜角的范围是_答案 0，)解析 由题知kcos，故k，结合正切函数的图象，当k0，时，直线倾斜角0，当k，0)时，直线倾斜角，)，故直线的倾斜角的范围是0，)二、解答题12求经过点(2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程解析 设所求直线方程为1，由已知可得解得或，所求直线方程为2xy20或x2y2013已知ABC中，A(1，4)，B(6,6)，C(2,0)求：(1)ABC的平行于BC边的中位线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线的一般式方程，并化为截距式方程解析 (1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线因为线段AB、AC中点坐标为，所以这条直线的方程为，整理得6x8y130，化为截距式方程为1.(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线方程为，即7xy110，化为截距式方程为1.