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1、 考点四十 圆的方程知识梳理1圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆确定一个圆最基本的要素是圆心和半径2. 圆的标准方程(1) 以(a，b)为圆心，r (r0)为半径的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r0)为半径的圆的标准方程为x2y2r23. 圆的一般方程方程x2y2DxEyF0可变形为.(1) 当D2E24F0时，方程表示以为圆心，为半径的圆；(2) 当D2E24F0时，该方程表示一个点；(3) 当D2E24F0时，该方程不表示任何图形4. 点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)点在圆
2、上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2r2.5. 解决与圆有关的最值问题的常用方法(1) 形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2) 形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3) 形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题典例剖析题型一 求圆的方程例1若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为 答案(x2)2(y)24解析 因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2上，又圆与y轴相切，所以半径r2，设
3、圆心坐标为(2，b)，则(12)2b24，b23，b变式训练 (1)圆心在y轴上且经过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是 (2) 已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_答案(1) x2y210y0 (2) (x2)2y210解析 (1)设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，圆的方程为x2(yb)2b2.点(3，1)在圆上，9(1b)2b2，解得：b5.圆的方程为x2y210y0.(2) 设圆心坐标为(a,0)，易知，解得a2，圆心为(2,0)，半径为，圆C的方程为(x2)2y210.解题要点 求圆的方程一般用待定系数法，根据题意，可以选择标准方程
4、或一般方程求解题型二 点与圆的位置关系例2已知圆的方程是(x2)2(y3)24，则点P(3，2)满足 答案在圆内解析因为(32)2(23)220，点P在圆C外部题型三 二次方程表示圆的条件例3方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件的是 答案 m1解析 由(4m)2445m0，得m1.变式训练 方程2x22y24x8y100表示的图形是 答案 一个点解析 方程2x22y24x8y100，可化为x2y22x4y50，即(x1)2(y2)20，方程2x22y24x8y100表示点(1，2)解题要点 1.方程x2y2DxEyF0表示圆的条件是D2E24F02.二次方程Ax2BxyCy2DxEyF
5、0表示圆的充要条件：，即方程中不含xy项， x2，y2前系数相同，且D2E24AF0题型四 与圆有关的最值问题例4已知实数x、y满足方程x2y24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值解析(1)如图，方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆设k，即ykx，则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值由，解得k23，kmax，kmin.(也可由平面几何知识，得OC2，CP，POC60，直线OP的倾斜角为60，直线OP的倾斜角为120)(2)设yxb，则yxb，仅当直线yxb与圆切于第四象限时，截距b
6、取最小值，由点到直线的距离公式，得，即b2，故(yx)min2.(3)x2y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则(x2y2)max|OC|2(2)274，(x2y2)min|OB|2(2)274.解题要点(1)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解否则可转化为函数求最值(2)形如u形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题当堂练习1圆心在直线2x3y10上的圆与x轴交于A(1，0)
7、，B(3，0)两点，则圆的方程为 答案 (x2)2(y1)22解析 所求圆与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，故线段AB的垂直平分线x2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x3y10上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2，1)，进一步可求得半径为，所以圆的标准方程为(x2)2(y1)222已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为 答案 (x2)2(y2)21解析 圆C1：(x1)2(y1)21的圆心为(1，1)圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线xy10对称，解得圆C2的半径为1，圆C2的方程为(x2
8、)2(y2)21.3. 圆的圆心和半径分别 答案 解析 将圆配方得：，故知圆心为(2，1)，半径为.4若坐标原点在圆(xm)2+(y+m)2=4的内部，则实数m的取值范围是 答案 解析 原点O在圆(xm)2+(y+m)2=4的内部，(0m)2+(0+m)24，得2m24，解得m,即实数m的取值范围为：m5方程x2+y2x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是 答案 m解析 方程x2+y2x+y+m=0即表示一个圆，m0，解得m课后作业一、 填空题1以点A(5，4)为圆心且与x轴相切的圆的标准方程是 答案 (x+5)2+(y4)2=16解析 所求的圆以点A(5，4)为圆心，且与x轴相切，所求圆
9、的半径R=4，圆的标准方程为(x+5)2+(y4)2=162若一圆的标准方程为，则此圆的的圆心和半径分别为 答案 解析 圆的标准方程为 ，表示圆心为，半径为的圆3若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 答案 (x2)2(y1)21解析 设圆心坐标为(a，b)，由题意知a0，且b1.又圆和直线4x3y0相切，1，即|4a3|5，a0，a2.所以圆的方程为(x2)2(y1)21.4点(2a，a1)在圆x2+y22y4=0的内部，则a的取值范围是 答案a1解析 由题意，4a2+(a1)22(a1)40，即5a24a10,解之得：a15圆的圆心坐标是 答案
10、 (2，3)解析 将方程化为圆的标准方程得，所以圆心是(2，3).6圆x2+y2=16上的点到直线xy=3的距离的最大值为 答案 4+解析 圆心即原点到直线的距离，所以直线与圆相交，则圆上的点到直线的最大距离为.7若方程x2+y2x2y+c=0(cR)是一个圆的一般方程，则c的范围是 答案 c解析 化为标准方程为：，由题意得，8若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 答案 (x2)2(y1)21解析 由已知设所求圆的圆心坐标为：C(a，b)(a0且b0)，由已知有：，所以所求圆的方程为：(x2)2(y1)219圆的方程过点和原点，则圆的方程为 答案
11、 解析 设圆的一般方程为，将三点代入得：，解得，所以圆的方程为.10方程x2y26x0表示的圆的圆心坐标是_；半径是_答案 (3，0)，3解析 (x3)2y29，圆心坐标为(3，0)，半径为3.11从直线xy30上的点向圆x2y24x4y70引切线，则切线长的最小值为 答案 解析 把圆的方程化为标准式后，找出圆心坐标和圆的半径，利用图形可知，当圆心A与直线xy30垂直时，过垂足作圆的切线，切线长最短，连接AB，根据圆的切线垂直于过切点的直径可得三角形ABC为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线xy30的距离即为|AC|的长，然后根据半径和|AC|的长，利用勾股定理即可求出此时的切线
12、长由于圆心(2，2)，半径为1，那么可知圆心到直线的距离为 ，那么利用勾股定理可知切线长的最小值为二、解答题12求下列各圆的标准方程：(1)圆心在y=x上且过两点(2，0)，(0，4)(2)圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y1=0切于点(2，1)解析 (1)设圆心坐标为()，则所求圆的方程为，圆心在上， 又圆过(2，0)，(0，4) ， ， 由联立方程组，可得.所求圆的方程为.(2)圆与直线相切，并切于点M(2，1)，则圆心必在过点M(2，1)且垂直于的直线：上，即圆心为C(1，2)，=，所求圆的方程为：13求经过三点A(1，1)，B(8，0)，C(0，6)的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.解析 设所求圆的方程为 点A(1，1)，B(8，0)，C(0，6)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得 解得：D=8，E=6，F=0 . 于是得所求圆的方程为： , 圆的半径r= ,圆心坐标是.