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1、 考点三十八 两条直线的位置关系知识梳理1两直线平行、垂直与斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1， k2平行k1k2k1与k2都不存在垂直k1k21k1与k2一个为零、另一个不存在说明：利用斜率判定平行应先判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2，且b1b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合2利用一般式方程系数判断平行与垂直设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10.l1l2A1A2B1B20.3利用平行的直线系和垂直的直线系解题设直线AxByC0，则与
2、直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0；与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyn0.典例剖析题型一 两直线平行与垂直的判定例1“a2”是“直线(a2a)xy0和直线2xy10互相平行”的_条件答案充分不必要解析 当a2时，两直线平行；但两直线平行时，a2或者a1.故“a2”是“直线(a2a)xy0和直线2xy10互相平行”的充分不必要条件变式训练 已知直线l1：x(a2)y20，l2：(a2)xay10，则“a1”是“l1l2”的_条件答案 充分不必要解析 若a1，则l1：x3y20，l2：3xy10，显然两条直线垂直；若l1l2，则(a2)a(a2)0，a1或a2，因此，“
3、a1”是“l1l2”的充分不必要条件.解题要点 两直线平行、垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直两直线的斜率之积等于1.注意当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况(2)已知两直线的一般方程两直线方程l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：A1A2B1B20l1l2；A1B2A2B10且A1C2A2C10l1l2.题型二 根据平行与垂直求直线方程例2(1)求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程(2) 求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直
4、的直线l的方程解析(1)依题意，设所求直线方程为3x4yc0 (c1)，又因为直线过点(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.(2) 因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.变式训练 过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是_答案x2y10解析所求直线与直线x2y20平行，所求直线的斜率为，又直线过(1,0)点，则直线方程为x2y10.解题要点 1.与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10 (C1C)，再由其他条件求C1.2. 与直
5、线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC10，再由其他条件求出C1.题型三 根据平行或垂直求参数例3(1)已知直线l1：x2y10与直线l2：mxy0平行，则实数m的取值为_ (2) 若直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)ya210垂直，则实数a_答案(1) (2) 解析 (1)因为直线l1：x2y10与直线l2：mxy0平行，所以0，解得m.(2) 由a1(a1)20，a.变式训练 若直线y2x与kxy10垂直，则实数k_答案 解析 直线kxy10斜率为k，直线y2x斜率为2，由题两直线垂直，则k21，k解题要点 已知平行与垂直求参数时，具体选择斜率还是选择利用一般式方程的系数因题
6、而异一般来说，若直线的斜率较易得出，则利用斜率关系：l1l2则k1k2，若l1l2，则k1k21需注意的是，由一般式方程AxByC0求斜率时，k若已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20.当堂练习1下列命题如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；如果两直线平行，则它们的斜率相等；如果两直线的斜率之积为1，则它们垂直；如果两直线垂直，则它们的斜率之积为1其中正确的为_答案 解析当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1l2k1k2，l1l2
7、k1k21，故正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故错2经过两点A(2，3)，B(1，x)的直线l1与斜率为1的直线l2平行，则实数x的值为_答案 6解析 直线l1的斜率k1，由题意可知1，x63. 以A(1，1)，B(2，1)，C(1，4)为顶点的三角形是_答案 以A点为直角顶点的直角三角形解析 kAB，kAC，kABkAC1，ABAC，A为直角，ABC为以A点为直角顶点的直角三角形4已知A(2，0)，B(3，)，直线lAB，则直线l的倾斜角为_答案
8、 60解析 lAB，klkAB，直线l的倾斜角为60.5经过点M(m，3)和N(2，m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则m的值是_答案 解析 由题意知，直线MN的斜率存在，MNl，kMN，解得m课后作业一、 填空题1下列说法正确的有_若两直线斜率相等，则两直线平行；若l1l2，则k1k2；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；若两直线斜率都不存在，则两直线平行答案 1个解析 当k1k2时，l1与l2平行或重合，不成立；中斜率不存在时，不正确；同也不正确只有正确2若直线l1，l2的倾斜角分别为1，2，且l1l2，则|12|_答案 |12|90解析 如图所示由图
9、(1)可知1290，由图(2)可知2190，|12|903过点(，)，(0，3)的直线与过点(，)，(2， 0)的直线的位置关系为_答案 垂直解析 过点(，)，(0，3)的直线的斜率k1；过点(，)，(2，0)的直线的斜率k2因为k1k21，所以两条直线垂直4“3”是“直线x2y30与直线3x(1)y7平行”的_条件答案 充要解析 当3时，两直线平行若直线x2y30与直线3x(1)y7平行，则(1)6，且(7)33，解得3.5已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)、B(a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2xby10与直线l1平行，则ab等于_答案 2解析 l的斜率为1，则l1的斜率
10、为1，kAB1，a0.由l1l2，1，b2，所以ab2. 6若l1：x(1m)y(m2)0，l2：mx2y60平行，则实数m的值是_答案 m1或m2解析 由12(1m)m，得m2或m1.当m2时，l1：xy40，l2：2x2y60，平行当m1时，l1：x2y10，l2：x2y60，平行7若直线mx4y20与直线2x5yn0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为_答案 12解析 由2m200，得m10.由垂足(1，p)在直线mx4y20上，得104p20.p2.又垂足(1，2)在直线2x5yn0上，则解得n12.8已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(a，1)，且l1与l垂直，直
11、线l2：2xby10与直线l1平行，则ab_答案 2解析 l的斜率为1，则l1的斜率为1，kAB1，a0.由l1l2，得1，b2.ab2.9经过点P(2，1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45的直线平行，则a_答案 4解析 由题意，得tan45，解得a410若A(4，2)，B(6，4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论：ABCD；ABCD；ACBD；ACBD其中正确的序号是_答案 解析 kAB，kCD，kAC，kBD4，kABkCD，kACkBD1，ABCD，ACBD11经过点(3，2)和(m，n)的直线l，(1)若l与x轴平行，则m、n的取值情况是_；(2)若l与x轴垂直，则
12、m、n的取值情况是_答案 (1)mR且m3，n2 (2)m3，nR且n2解析 (1)l与x轴平行，则两点的纵坐标相等(2)l与y轴平行，则两点的横坐标相等二、解答题12求过点(1,2)且与直线2x3y40平行的直线方程解析 2x3y40的斜率为k，所求的直线方程为y2(x1)，即2x3y80.13已知直线l的方程为3x4y120，求满足下列条件的直线l的方程(1)l与l平行且过点(1,3)；(2)l与l垂直且l与两坐标轴围成的三角形面积为4解析 (1)直线l：3x4y120，kl.又ll，klkl.直线l为y(x1)3，即3x4y90.(2)ll，kl.设l与x轴截距为b，则l与y轴截距为b，由题意可知，S|b|4，b.直线l为y(x)或y(x)