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1、 考点三十四 空间直线、平面平行的判定及其性质 知识梳理 1直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，叫做直线与平面平行 2平面与平面平行的定义 如果两个平面没有公共点，叫做两个平面平行 3直线与平面平行 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 简称：线线平行，则线面平行 符号语言：a，b ab，错误!未定义书签。a.性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行简称：线面平行，则线线平行 符号语言：aab错误!未定义书签。ab.4平面与平面平行 判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行简称：线面
2、平行，则面面平行 符号语言：a，babPa，b.性质定理：自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行简称：面面平行，则线线平行 符号语言：ab ab.5平行问题的转化关系 典例剖析 题型一 平行关系命题判定问题 例 1 空间中，下列命题正确的是_(填序号)若 a，ba，则 b 若 a，b，a，b，则 若，b，则 b 若，a，则 a 答案 解析 对于，b 可以在 内，错；对于，当 a，b 相交时才能有，错；对于，b 可能在 内，错；由面面平行的性质知，正确 变式训练 对于平面 和共面的直线 m，n，下列命题是真命题的是_(填序号)若 m，n 与 所成的角相等，则 mn 若
3、 m，n，则 mn 若 m，mn，则 n 若 m，n，则 mn 答案 解析 由 m，n 可知 m 与 n 不相交，又 m 与 n 共面，故 mn.解题要点 解决这类命题判定问题，一是对平行的判定定理、性质定理准确记忆并理解，二是可以借助图形分析 在作图时，一般是先作出平面，然后借助平面来考察其他的位置关系 题型二 线面平行的判定和性质 例 2 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，E、F 分别为 PC、BD 的中点 求证：EF平面 PAD.解析 证明：连接 AC，ACBDF.ABCD 为正方形，F 为 AC 中点，E 为 PC 中点，在CPA 中，EFPA.而 PA平面 P
4、AD，EF平面 PAD.EF平面 PAD.变式训练 在空间四边形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、AD 上的点，且 AEEBAFFD14，又 H、G 分别为 BC、CD 的中点，则_(填序号)BD平面 EFG，且四边形 EFGH 是平行四边形 EF平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形 HG平面 ABD，且四边形 EFGH 是平行四边形 EH平面 ADC，且四边形 EFGH 是梯形 答案 解析 如图，由题意，EFBD，且 EF15BD.HGBD，且 HG12BD.EFHG，且 EFHG.四边形 EFGH 是梯形 又 EF平面 BCD，而 EH 与平面 ADC 不平行故选.解题要点 对平行
5、问题，应善于根据题意进行转化，要证线面平行，则一般需寻找线线平行。判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)题型三 面面平行的判定和性质 例 3 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，S 是 B1D1的中点，E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中点，求证：(1)直线 EG平面 BDD1B1；(2)平面 EFG平面 BDD1B1.证明(1)如图，连接 SB，E、G 分别是 BC、SC 的中点，EGSB.又SB平面 BDD1B1，EG平面
6、 BDD1B1，直线 EG平面 BDD1B1.(2)连接 SD，F、G 分别是 DC、SC 的中点，FGSD.又SD平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，由(1)知，EG平面 BDD1B1，且 EG平面 EFG，FG平面 EFG，EGFGG，平面 EFG平面 BDD1B1.变式训练 如图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G 分别是棱 B1B，D1D，DA 的中点求证：平面 AD1E平面 BGF.解析 E，F 分别是 B1B 和 D1D 的中点，D1F 綊 BE，四边形 BED1F 是平行四边形，D1EBF.又D1E平面 BGF，B
7、F平面 BGF，D1E平面 BGF.FG 是DAD1的中位线，FGAD1.又 AD1平面 BGF，FG平面 BGF，AD1平面 BGF.又AD1D1ED1，平面 AD1E平面 BGF.解题要点 证明面面平行同样需要在“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”间相互转化一般来说，证明面面平行的常见方法是：面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；利用垂直于同一条直线的两个平面平行；两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行 当堂练习 1能够判断两个平面，平行的条件是_(填序号)平面，都和第三个平面相交，且交线平行 夹在两个平面间的线段相等 平面
8、内的无数条直线与平面 无公共点 平面 内的所有的点到平面 的距离都相等 答案 解析 平面 内的所有的点到平面 的距离都相等说明平面、无公共点 2下列说法中正确的个数是_ 若直线 ab，b 平面，则有 a；若直线 a，b，则有 ab；若直线 ab，直线 a，则 b；若直线 a，b，则 ab 答案 0 解析 中可能 a 或 a，a 与 b 可能异面，中 b 可能在平面 内，a 与 b 可能相交、平行或异面 3.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面、的三个命题：若 l 与 m 为异面直线，l，m，则；若，l，m，则 lm；若 l，m，n，l，则 mn.其中真命题的个数为_ 答案 1 解析
9、中当 与 不平行时，也能存在符合题意的 l、m.中 l 与 m 也可能异面 中 llmlm，同理 ln，则 mn，正确 4已知直线 a，b，平面，则以下三个命题：若 ab，b，则 a；若 ab，a，则 b；若 a，b，则 ab.其中真命题的个数是_ 答案 0 解析 对于命题，若 ab，b，则应有 a 或 a，所以不正确；对于命题，若 ab，a，则应有 b 或 b，因此也不正确；对于命题，若 a，b，则应有 ab 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面，因此也不正确 5已知正方体 ABCDA1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是_(只填序号)AD1BC1；平面 AB1D1平面 BDC1；AD
10、1DC1；AD1平面 BDC1.答案 解析 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB 綊 D1C1，ABC1D1为平行四边形，AD1BC1，故正确；同理可证 BDB1D1，面 AB1D1面BDC1，故正确；对于，AD1与 DC1显然为异面直线，故不正确；又 AD1BC1，AD1面 BDC1，BC1面 BDC1，AD1平面 BDC1，故正确 课后作业 一、填空题 1，为三个不重合的平面，a，b，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是_ acbcab;abab；cc；caca;aa 答案 解析 由公理 4 及平行平面的传递性知正确举反例知不正确中 a，b 可以相交，还可以异面；中，
11、可以相交；中 a 可以在 内；中 a 可以在 内 2直线 a平面，则 a 平行于平面 内的_ 一条确定的直线 所有的直线 无穷多条平行的直线 任意一条直线 答案 解析 显然若直线 a平面，则 a 一定平行于经过 a 的平面与 相交的某条直线 l，同时，平面 内与 l 平行的直线也都与直线 a 平行，故选.3过平行六面体 ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1平行的直线共有_ 答案 12 条 解析 如图所示，以 E 为例，易证 EI，EQ平面 DBB1D1，与 E 处于同等地位的点还有 F，G，H，M，N，P，Q，故有符合题意的直线8 282条以 I 为例，易证
12、 IE平面 DBB1D1，与 I 处于同等地位的点还有 J，K，L，故有符合题意的直线 4 条，则共有 8412 条 4(2015 北京理)设，是两个不同的平面，m 是直线且 m.“m”是“”的_条件 答案 必要而不充分 解析 m，m，但 m，m，m 是 的必要而不充分条件 5如图，在三棱锥 SABC 中，G1，G2分别是SAB 和SAC 的重心，则直线 G1G2与 BC的位置关系是_ 答案 平行 解析 SG1SMSG2SN23 G1G2MN，又M，N 为 AB，AC 的中点，MNBC，G1G2BC.6若平面 平面，直线 a，且 a，点 B，则在 内过点 B 的所有直线中_(填序号)不一定存在
13、与 a 平行的直线 只有两条与 a 平行的直线 存在无数条与 a 平行的直线 存在惟一一条与 a 平行的直线 答案 解析 Ba，a 与 B 确定平面 设 m，n，mn又a，am，na，直线 n 即为 内过 B 与 a 平行的直线，它是惟一的 7下列命题：如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行 其中正确命题的个数为_ 答案 1 个 解析 只有正确 8已知两条直线 m、n，两个平面、，给出下面四个命题：a，bab 或 a，b 相交；，m，nmn；mn，mn；a，abb 或 b 其中正确命题
14、的序号是_ 答案 解析 对于，m，n 可能得到 mn，还有可能是直线 m，n 异面；对于，mn，m，当直线 n 不在平面 内时，可以得到 n，但是当直线 n 在平面 内时，n 不平行于平面 9如图所示，长方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是棱 AA1和 BB1的中点，过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G、H，则 HG 与 AB 的位置关系是_ 答案 平行 解析 E、F 分别是 AA1、BB1的中点，EFAB 又 AB平面 EFGH，EF平面 EFGH，AB平面 EFGH 又 AB平面 ABCD，平面 ABCD平面 EFGHGH，ABGH 10如图，正方体 AB
15、CDA1B1C1D1中，AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上若 EF平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于 答案 2 解析 因为直线 EF平面 AB1C，EF平面 ABCD，且平面 AB1C平面 ABCDAC，所以EFAC又因为 E 是 AD 的中点，所以 F 是 CD 的中点，由中位线定理可得 EF12 AC又因为在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以 AC2 2，所以 EF 2 11 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_ 答案 平行 解析 如图所示，连接 BD 与 AC 交于 O 点，连接 OE，则 OEB
16、D1，而 OE平面 ACE，BD1平面 ACE，所以 BD1平面 ACE.二、解答题 12如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证：PAGH.证明：如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 AC 的中点.又 M 是 PC 的中点，APOM.又 AP平面 BDM，AP平面 BDM.平面 PAHG平面 BDMGH，PAGH.13如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17.点 G，E
17、，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积 解析(1)证明：因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC，且平面 PBC平面 GEFHGH，所以 GHBC.同理可证 EFBC，因此 GHEF.(2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK.因为 PAPC，O 是 AC 的中点，所以 POAC.同理可得 POBD.又 BDACO，且 AC，BD 都在底面内，所以 PO底面 ABCD.又因为平面 GEFH平面 ABCD，且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.因为平面 PBD平面 GEFHGK，所以 POGK，且 GK底面 ABCD.从而 GKEF.所以 GK 是梯形 GEFH 的高 由 AB8，EB2，得 EBABKBDB14.从而 KB14DB12OB，即 K 为 OB 的中点 再由 POGK，得 GK12PO.即 G 是 PB 的中点，且 GH12BC4.由已知可得 OB4 2，POPB2OB268326，所以 GK3.故四边形 GEFH 的面积 SGHEF2GK482318.