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1、 考点十一 函数与方程知识梳理1函数的零点(1)函数零点的定义函数yf(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点三者间关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2函数零点存在性定理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)000)的图象与x轴的交点两个交点一个交点无交点零点个数2104二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似
2、值的方法叫做二分法5二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间(a，b)，验证f(a)f(b)0；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)；若f(x1)0，则x1就是函数的零点；若f(x1)f(a)0，则令ax1 (此时零点x0(x1，b)；第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步典例剖析题型一 函数零点的判断和求解例1函数f(x)4x4在区间1，3上有 零点.答案 一个解析 因为f(x)4x4=，所以函数f(x)4x4在区间1，3上有一个零点2.变式训练 函数有零点的区间是 答案(2，3)解析.解题要点 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题
3、目灵活处理当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断题型二 零点个数问题例2已知函数f(x)ln(x1)，试求函数的零点个数解析令f(x)0，即ln(x1)，在同一坐标系中画出yln(x1)和y的图象，可知两个图象有两个交点， f(x)有两个零点变式训练 函数的零点个数是 答案1个解析函数的零点，即方程的解，研究函数与图象的交点，作出两个函数的图象如图，可知有一个交点，故有一个零点.解题要点 判断函数零点个数的三种方法:(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理
4、：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点题型三 参数范围问题例3(1)函数f (x)4xx2a的零点的个数为3，则a (2) 函数ym有两个零点，则m的取值范围是_答案(1) 4 (2) (0，1)解析 (1)令函数f(x)=|x24x|a=0，可得|x24x|=a由于函数f(x)=|x24x|a的零点个数为3，故函数y=|x24x|的图象和函数y=a的图象有3个交点，如图所示
5、：故a=4故答案为 4(2) 在同一直角坐标系内，画出y1和y2m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0m1.变式训练 设方程|x23|a的解的个数为m，则m不可能等于_答案1解析 在同一坐标系中分别画出函数y1|x23|和y2a的图象，如图所示可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解解题要点 数形结合是解决此类问题的基本思想，其要点是通过构造函数，把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，从而借助图象来求出参数的范围题型四 用二分法求方程的近似解例4设，用二分法求方程在区间上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间_答案解析 因为根据零点存在定理知，方程的根落在区间内.变
6、式训练 用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_答案(0，0.5)，f(0.25)解析 因为用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0(0，0.5)，第二次应计算中点值f(0.25)的函数值，然后依次进行判定当堂练习1(2015湖北文)函数f(x)2sin xsinx2的零点个数为_答案2解析f(x)2sin xsinx22sin xcos xx2sin 2xx2.令f(x)0，则sin 2xx2，则函数f(x)的零点个数即为函数ysin 2x与函数yx2的图象的交点个数作出函数图象
7、知，两函数交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2. 2(2015湖南文)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_答案(0,2)解析将函数f(x)|2x2|b的零点个数问题转化为函数y|2x2|的图象与直线yb的交点个数问题，数形结合求解由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0b1时，y1，ycosx1，所以两图象只有一个交点，即方程cosx0在0，)内只有一个根，所以f(x)cosx在0，)内只有一个零点，所以选项4已知关于x的方程xln xax1(aR)，下列说法正确的是_(填序号)有两不等根 只有一正根
8、 无实数根 不能确定答案 解析 由xln xax1(aR)知x0，ln xa，作出函数y1ln x与y2a的图象，易知选.5函数f(x)x32x1的零点所在的大致区间是_(填序号) (0,1) (1,2) (2,3) (3,4)答案 解析 f(0)10，f(2)110，f(3)320，f(4)710，则f(0)f(1)20，f(x)2x3x在R上是增函数而f(2)2260，f(1)2130，f(1)2350，f(2)226100，f(1)f(0)0.故函数f(x)在区间(1,0)上有零点3方程log3xx30的解所在的区间是_答案 (2,3)解析 设f(x)log3xx3，则f(2)log32
9、10，f(x)0在(2,3)有零点，又f(x)为增函数，f(x)0的零点在(2,3)内4方程|x22x|a21(a0)的解的个数是_答案2解析 (数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点5已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为_答案2，1,3解析当x0时，函数g(x)的零点即方程f(x) x3的根，由x23xx3，解得x1或3；当x0时，由f(x)是奇函数，得f(x) f(x)x23(x)，即f(x)x23x.由f(x)x3，得x2(正根舍去)故选D.6函数f(x)x
10、3x2x1在0,2上_(填序号)有两个零点 有三个零点 仅有一个零点 无零点答案解析由于f(x)x3x2x1(x21)(x1)令f(x)0，得x1,1.因此f(x)在0,2上仅有一个零点7函数的零点为_答案 解析 因为求解函数的零点，就是求解方程f(x)=0的解，而函数的零点8函数f(x)6x9在区间1，3上有_个零点答案 一个解析 因为，所以函数在区间1，3上有一个零点39函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.答案 2解析 由于f(1)40，f(2)ln 210，又f(x)在(0，)上为增函数，所以零点在区间(2,3)内，故n2.10已知函数f(x)若函数g
11、(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_答案(0,1)解析画出f(x)的图象，如图由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0,1)11用二分法求方程lnx2x0在区间1,2上零点的近似值，先取区间中点c，则下一个含根的区间是_答案 ，2解析 由于f(1)10，fln0，所以下一个含根区间为.二、解答题12已知函数有4个零点，求实数的取值范围.解析 由函数有4个零点有4个根，即有4个根令如下图 由图知在到3之间，所以实数的取值范围是 13函数f (x)|4xx2|a的零点的个数为3，求a的值。解析 令函数f(x)=|x24x|a=0，可得|x24x|=a由于函数f(x)=|x24x|a的零点个数为3，故函数y=|x24x|的图象和函数y=a的图象有3个交点，如图所示： 故a=4