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1、 考点三十四 空间直线、平面平行的判定及其性质知识梳理1直线与平面平行的定义直线与平面没有公共点，叫做直线与平面平行2平面与平面平行的定义如果两个平面没有公共点，叫做两个平面平行3直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行简称：线线平行，则线面平行符号语言：a.性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行简称：线面平行，则线线平行符号语言：ab.4平面与平面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行简称：线面平行，则面面平行符号语言：.性质定理：自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平
2、面相交，那么它们的交线平行简称：面面平行，则线线平行符号语言： ab.5平行问题的转化关系典例剖析题型一 平行关系命题判定问题例1空间中，下列命题正确的是_(填序号) 若a，ba，则b 若a，b，a，b，则 若，b，则b 若，a，则a答案解析对于，b可以在内，错；对于，当a，b相交时才能有，错；对于，b可能在内，错；由面面平行的性质知，正确变式训练 对于平面和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是_(填序号) 若m，n与所成的角相等，则mn 若m，n，则mn 若m，mn，则n 若m，n，则mn答案 解析 由m，n可知m与n不相交，又m与n共面，故mn.解题要点 解决这类命题判定问题，一是对平行
3、的判定定理、性质定理准确记忆并理解，二是可以借助图形分析在作图时，一般是先作出平面，然后借助平面来考察其他的位置关系题型二 线面平行的判定和性质例2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点求证：EF平面PAD.解析证明：连接AC，ACBDF.ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点，在CPA中，EFPA.而PA平面PAD，EF平面PAD.EF平面PAD.变式训练 在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AEEBAFFD14，又H、G分别为BC、CD的中点，则_(填序号) BD平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形 EF平面BCD，且四
4、边形EFGH是梯形 HG平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形 EH平面ADC，且四边形EFGH是梯形答案解析如图，由题意，EFBD，且EFBD.HGBD，且HGBD.EFHG，且EFHG.四边形EFGH是梯形又EF平面BCD，而EH与平面ADC不平行故选.解题要点 对平行问题，应善于根据题意进行转化，要证线面平行，则一般需寻找线线平行。判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)题型三 面面平行的判定和性质例3如图，在正方体ABCDA1B1C
5、1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证： (1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，E、G分别是BC、SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD，F、G分别是DC、SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，由(1)知，EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.变式训练 如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别
6、是棱B1B，D1D，DA的中点求证：平面AD1E平面BGF.解析E，F分别是B1B和D1D的中点，D1F綊BE，四边形BED1F是平行四边形，D1EBF.又D1E平面BGF，BF平面BGF，D1E平面BGF.FG是DAD1的中位线，FGAD1.又AD1平面BGF，FG平面BGF，AD1平面BGF.又AD1D1ED1，平面AD1E平面BGF.解题要点 证明面面平行同样需要在“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”间相互转化一般来说，证明面面平行的常见方法是：面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；利用垂直于同一条直线的两个平面平行；两个平面同时平行
7、于第三个平面，那么这两个平面平行当堂练习1能够判断两个平面，平行的条件是_(填序号)平面，都和第三个平面相交，且交线平行夹在两个平面间的线段相等平面内的无数条直线与平面无公共点平面内的所有的点到平面的距离都相等答案 解析 平面内的所有的点到平面的距离都相等说明平面、无公共点2下列说法中正确的个数是_若直线ab，b 平面，则有a； 若直线a，b，则有ab；若直线ab，直线a，则b； 若直线a，b，则ab答案 0解析 中可能a或a，a与b可能异面，中b可能在平面内，a与b可能相交、平行或异面3. 给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则
8、lm；若l，m，n，l，则mn.其中真命题的个数为_答案 1解析 中当与不平行时，也能存在符合题意的l、m.中l与m也可能异面中lm，同理ln，则mn，正确4已知直线a，b，平面，则以下三个命题：若ab，b，则a；若ab，a，则b；若a，b，则ab.其中真命题的个数是_答案 0解析 对于命题，若ab，b，则应有a或a，所以不正确；对于命题，若ab，a，则应有b或b，因此也不正确；对于命题，若a，b，则应有ab或a与b相交或a与b异面，因此也不正确5已知正方体ABCDA1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是_(只填序号)AD1BC1；平面AB1D1平面BDC1；AD1DC1；AD1平面BDC1
9、.答案 解析 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB綊D1C1，ABC1D1为平行四边形，AD1BC1，故正确；同理可证BDB1D1，面AB1D1面BDC1，故正确；对于，AD1与DC1显然为异面直线，故不正确；又AD1BC1，AD1面BDC1，BC1面BDC1，AD1平面BDC1，故正确课后作业一、 填空题1，为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是_ab; ab； ；a; a答案 解析 由公理4及平行平面的传递性知正确举反例知不正确中a，b可以相交，还可以异面；中，可以相交；中a可以在内；中a可以在内2直线a平面，则a平行于平面内的_一条确定的直线
10、所有的直线 无穷多条平行的直线 任意一条直线答案 解析 显然若直线a平面，则a一定平行于经过a的平面与相交的某条直线l，同时，平面内与l平行的直线也都与直线a平行，故选.3过平行六面体ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有_答案 12条解析 如图所示，以E为例，易证EI，EQ平面DBB1D1，与E处于同等地位的点还有F，G，H，M，N，P，Q，故有符合题意的直线条以I为例，易证IE平面DBB1D1，与I处于同等地位的点还有J，K，L，故有符合题意的直线4条，则共有8412条4(2015北京理)设，是两个不同的平面，m是直线且m.“m”是“”的_条件
11、答案必要而不充分解析m，m，但m，m，m是的必要而不充分条件5如图，在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是_答案 平行解析 G1G2MN，又M，N为AB，AC的中点，MNBC，G1G2BC.6若平面平面，直线a，且a，点B，则在内过点B的所有直线中_(填序号)不一定存在与a平行的直线 只有两条与a平行的直线存在无数条与a平行的直线 存在惟一一条与a平行的直线答案 解析 Ba，a与B确定平面设m，n，mn又a，am，na，直线n即为内过B与a平行的直线，它是惟一的7下列命题：如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；过直线外一点，可以
12、作无数个平面与这条直线平行；如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行其中正确命题的个数为_答案 1个解析 只有正确8已知两条直线m、n，两个平面、，给出下面四个命题： a，bab或a，b相交； ，m，nmn； mn，mn； a，abb或b其中正确命题的序号是_答案 解析 对于，m，n可能得到mn，还有可能是直线m，n异面；对于，mn，m，当直线n不在平面内时，可以得到n，但是当直线n在平面内时，n不平行于平面9如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是_答案 平行解析 E、F分
13、别是AA1、BB1的中点，EFAB又AB平面EFGH，EF平面EFGH，AB平面EFGH又AB平面ABCD，平面ABCD平面EFGHGH，ABGH10如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于答案 解析 因为直线EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC又因为E是AD的中点，所以F是CD的中点，由中位线定理可得EFAC又因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2，所以EF11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_答案
14、 平行解析 如图所示，连接BD与AC交于O点，连接OE，则OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.二、解答题12如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PAGH.证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点 .又M是PC的中点，APOM.又AP平面BDM，AP平面BDM.平面PAHG平面BDMGH，PAGH.13如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上
15、共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积解析(1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC.同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD.从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2，得EBABKBDB14.从而KBDBOB，即K为OB的中点再由POGK，得GKPO.即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.