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1、 考点三十五 空间直线、平面垂直的判定及其性质知识梳理1直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面，记作a，直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直2.直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行4与线面垂直有关的重要结论(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线(2)如果两条平行
2、直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面(3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行(4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直5两平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直6两平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直7两平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面8.空间角(1)直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，PAO就是斜线AP与平面所成的角当直线
3、与平面垂直时，它们所成的角是直角；当直线在平面内或直线与平面平行时，它们所成的角是0的角故线面角的范围：0， (2)二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱两个半平面叫做二面角的面如图的二面角，可记作：二面角l或二面角PABQ二面角的平面角如图，过二面角l的棱l上一点O在两个半平面内分别作BOl，AOl，则AOB就叫做二面角l的平面角设二面角的平面角为，则0，当时，二面角叫做直二面角 9.垂直关系的转化判定定理转化：线线垂直线面垂直面面垂直性质定理转化：面面垂直用图形表示为：同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直线面垂直线线平行线面平行典例剖析题
4、型一 垂直问题有关的命题判定例1(2014浙江高考)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面_ 若mn，n，则m 若m，则m 若m，n，n则m 若mn，n，则m答案解析 选项，中m均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故选.变式训练 已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则；若m，n，mn，则； 若m，n，则mn.其中所有正确的命题是_答案解析借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图(2)所示；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示；对于，由m，可得m，因为n，所
5、以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn.解题要点 1.对于这类命题的判断问题，借助模型法是常见策略，一般地，对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.2.还可以通过画图判断，作图时仍然遵循先作面后作线的原则，用面衬托线，从而利于判断题型二 线面垂直的判定与性质例2如图，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点 (1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，N是PC的中点，E为PD的中点，NECD，且NECD，而AM
6、CD，且AMABCD，NEAM，四边形AMNE为平行四边形，MNAE.又PA平面ABCD，PACD，又ABCD为矩形，ADCD.而ADPAA，CD平面PAD，CDAE.又AEMN，MNCD.(2)PA平面ABCD，PAAD，又PDA45，PAD为等腰直角三角形又E为PD的中点，AEPD，又由(1)知CDAE，PDCDD，AE平面PCD.又AEMN，MN平面PCD.解题要点 利用判定定理证明线面垂直时，必须证明一条直线垂直于平面内的两条相交直线，这里相交必须要体现出来题型三 面面垂直的判定和性质例3如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点 (
7、1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解析 (1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得V111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.变式训练 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，
8、ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点 (1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积解析(1)证明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1，又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1
9、F平面ABE.(3)解因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.解题要点(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直当堂练习1下列命题中，正确命题个数为_如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a
10、的平面内答案 4解析 正确，中当这无数条直线都平行时，结论不成立2下列命题中正确的是_平面和分别过两条互相垂直的直线，则若平面内的一条直线垂直于平面内两条平行线，则若平面内的一条直线垂直于平面内两条相交直线，则若平面内的一条直线垂直于平面内无数条直线，则答案 解析 由两个平面垂直的定义知，正确3. 在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是_BC平面PDF DF平面PAE 平面PDF平面ABC 平面PAE平面ABC答案 解析 可画出对应图形，如图所示，则BCDF，又DF平面PDF，BC平面PDF，BC平面PDF，故成立；由AEBC，PEBC，BCD
11、F，知DFAE，DFPE，DF平面PAE，故成立；又DF平面ABC，平面ABC平面PAE，故成立4平面平面，直线a，则_a a a与相交 以上都有可能答案 解析 借助长方体，可举例说明、都有可能成立5设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面， 给出下列四个命题：若mn，m，n，则n； 若m，则m；若m，则m或m； 若mn，m，n，则.则其中正确命题的序号为_答案 解析 中可能有m，故不正确课后作业一、 填空题1若m、n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为_n； Mn；Mn; n答案 3解析 正确，中n与面可能有：n或n或相交(包括n)2如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABC
12、D，则PD与平面ABCD所成的角为图中的_答案 PDA解析 PA平面ABCD，AD是PD在平面ABCD上的射影，故PDA是PD与平面ABCD所成的角3经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有_答案 1个或无数个解析 如果平面内一点与平面外一点的连线与平面垂直，则可以作无数个平面与已知平面垂直，如果两点连线与已知平面不垂直，则只能作一个平面与已知平面垂直4在如图所示的四个正方体中，能得出ABCD的是_ 答案 解析 中，CD平面AMB，CDAB；中，AB与CD成60角；中，AB与CD成45角；中，AB与CD夹角的正切值为5已知a，b，c为三条不重合的直线，下面有三个结论：若ab，ac，则bc;
13、若ab，ac，则bc;若ab，bc，则ac其中正确的个数为_答案 1个解析 不对，b，c可能异面；不对，b，c可能平行或异面；对6已知直线m，n和平面，满足mn，m，则_n n nn或n答案 解析 如图所示，图中n与相交，中n，中n，n，排除选.7设，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是_若，n，mn，则m 若m，n，mn，则n若n，n，m，则m 若m，n，mn，则答案 解析 与、两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与平行或相交，故错；对，存在n情况，故错；对，存在情况，故错由n，n，可知，又m，所以m，故正确8已知平面与平面相交，直线m，则_内必存在直线与m平行，且存在直
14、线与m垂直内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案 解析 当直线m与相交时内存在直线与m平行，但可以作直线与m成90角9空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为_答案 垂直解析 取AC中点E，连BE、DE由ABBC得ACBE同理ACDE，所以AC面BED因此，ACBD 10下列四个命题中，正确的序号有_，则； ，则；，则； ，则答案 解析 不正确，如图所示，但，相交且不垂直11在三棱锥PABC中，若PAPB，PBPC，PCPA，则在三棱锥PABC的四个面中，互相垂直的面有_
15、对 答案 3解析 PAPB，PAPC，PBPCP， PA平面PBC，又PA平面PAC，PA平面PAB，平面PAC平面PBC，平面PAB平面PBC同理可证平面PAB平面PAC二、解答题12如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，求证平面PBE平面PAB证明 如图所示，连接BD， 由ABCD是菱形且BCD60知，BCD是等边三角形因为E是CD的中点，所以BECD又ABCD，所以BEAB 又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE而PAABA，因此BE平面PAB又BE平面PBE， 所以平面PBE平面PAB13如图所示，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过点A作AEPC于点E求证AE平面PBC证明 PA平面ABC，PABC又AB是O的直径，BCAC而PAACA，BC平面PAC又AE平面PAC，BCAE又PCAE，且PCBCC，AE平面PBC