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1、7.4 简单的线性规划知识梳理在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点Px0，y0. B0 时， Ax0+By0+C0，则点 Px0，y0在直线的上方；Ax0+By0+C0，则点 Px0，y0在直线的下方. 对于任意的二元一次不等式Ax+By+C0或 0 ，无论 B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数. 当 B0 时， Ax+By+C0 表示直线Ax+By+C=0 上方的区域；Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域 . 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解x，y叫做可行解，由
2、所有可行解组成的集合叫做可行域类似函数的定义域 ；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题. 线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：1根据题意，设出变量x、y；2找出线性约束条件；3确定线性目标函数z=f x，y ；4画出可行域即各约束条件所示区域的公共区域；5利用线性目标函数作平行直线系fx，y =tt 为参数；6观察图形，找到直线fx，y =t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案. 点击双基A.点 0，0在区域x+y0 内B.点 0，0在区域x+y+12x 内D.点 0，1在区域xy+10 内解析：将 0，0代入
3、x+y0，成立 . 答案： A 2. 2005 年海淀区期末练习题设动点坐标x，y满足xy+1 x+y 4 0，x3，A.5B.10C.217解析：数形结合可知当x=3，y=1 时， x2+y2的最小值为10. 答案： D 2xy+10，x2y10，x+y1 则 x2+y2的最小值为表示的平面区域为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页解析：将 0，0代入不等式组适合C，不对；将21，21代入不等式组适合D，不对；又知2xy+1=0 与 x2y1=0 关于 y=x 对称且所夹顶角满足tan=|2121|212|=43.
4、3. 答案： B 4.点 2， t在直线2x3y+6=0 的上方，则t 的取值范围是_. 解析： 2， t在 2x 3y+6=0 的上方，则2 2 3t+60，解得 t32. 答案： t321234,0,0yxyx表 示 的平 面 区域 内的 整点 横坐 标 和纵 坐标 都是 整 数的 点 共 有_个. 解析： 1，1 ， 1，2 ， 2， 1 ，共 3 个. 答案： 3 典例剖析【例 1】 求不等式 x1 +y1 2 表示的平面区域的面积. 剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 解： x1+y1 2 可化为x1，x 1，x1，x 1，y1，y1，y1，y1，x+y 4
5、xy 2 yx 2 x+y0. 其平面区域如图. Oxy面积 S=214 4=8. 评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界. 或或或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页深化拓展假设再求：12xy；22)2()1(yx的值域，你会做吗？答案：，2323，+ ； 1，5. 【例 2】 某人上午 7 时，乘摩托艇以匀速v n mile/h 4v20从 A 港出发到距50 n mile 的 B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h30w100自 B 港向距 300 km 的 CC 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x
6、 h、 y h. 1作图表示满足上述条件的x、y 范围；2如果已知所需的经费p=100+3 5x+2 8 y 元 ，那么 v、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元? 剖析：由 p=100+3 5x+2 8 y可知影响花费的是3x+2y 的取值范围 . 解： 1依题意得v=y50，w=x300，4v20，30w100. 3x10，25y225. 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y 应在 9 至 14 个小时之间，即9x+y14.因此，满足的点x，y的存在范围是图中阴影部分包括边界. xyO1492.539 10142 +3 =38yx2 p=100+3 5x+2 8y ，3x+2y=1
7、31p. 设 131p=k，那么当 k 最大时， p 最小.在通过图中的阴影部分区域包括边界且斜率为23的直线 3x+2y=k 中，使 k 值最大的直线必通过点10，4 ，即当 x=10，y=4 时，p 最小. 此时， v=12.5，w=30，p 的最小值为93 元 . 评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义 . 【例 3】 某矿山车队有4 辆载重量为10 t 的甲型卡车和7 辆载重量为6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员 .此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂 .已知甲型卡车每辆每天可往返6 次，乙型卡车每辆每天可往返8 次.甲型卡车每辆
8、每天的成本费为252 元，乙型卡车每辆每天的成本费为160 元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低? 剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解. 解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z元，那么x+y9，106x+68x 360，0 x4，0y7. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页z=252x+160y，其中 x、yN. 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图. xxxyyyOll01+=95430作
9、出直线l0： 252x+160y=0，把直线l 向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在 y 轴上的截距最小.观察图形， 可见当直线252x+160y=t 经过点 2，5时，满足上述要求 . 此时， z=252x+160y 取得最小值，即x=2，y=5 时， zmin=2522+1605=1304. 答：每天派出甲型车2 辆，乙型车5 辆，车队所用成本费最低. 评述： 用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系 fx，y=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点. 闯关训练夯实基础1. x12+y12=1 是 x1+
10、y 1 1 的_条件 . 解析：数形结合. 答案： B 2. x+2y+1 xy+4 0 表示的平面区域为xxxyyyy112222334444- 1- 1- 2- 2- 2- 2- 3- 3- 4- 4- 4- 4 A B C DOOOO解析：可转化为x+2y+10，x+2y+10，xy+40 xy+40. 答案： B 3. 2004 年全国卷，14设 x、y 满足约束条件x0，xy，2xy1，则 z=3x+2y 的最大值是 _. 或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页解析：如图，当x=y=1 时， zmax=5.
11、y y y x x x O1 1 1 1 2 2 = = - 答案： 5 x 4y+30，3x+5y250，x1，_. z 看作常数时，它表示直线y=zx 的斜率，因此，当直线y=zx 过点 A 时， z 最大；当直线 y=zx过点 B 时， z 最小xxyyy3 +5 =0-25512 3 456 7 89-3- 4 +3=0ABOx1，3x5y250，得 A 1，522. x4y+3=0，3x+5y25=0，zmax1522522，zmin52答案：52522A3， 1 、B 1，1 、 C 1，3为顶点的ABC 的区域包括各边 ，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的
12、目标函数z=3x2y 的最大值和最小值 . 分析：本例含三个问题：画指定区域；写所画区域的代数表达式不等式组；求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值. 解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、 CA 所围成的区域为所求ABC 区域 . x y OA B CP(1,1)-2 31 2直线 AB 的方程为x+2y1=0，BC 及 CA 的直线方程分别为xy+2=0，2x+y 5=0. 在 ABC 内取一点P1，1 ，分别代入x+2y1，xy+2，2x+y5 得 x+2y10，xy+20， 2x+y50. 由得 B 5， 2 . x、y 满足条件设 z=xy，则 z 的最小值为 _，最
13、大值为由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页因此所求区域的不等式组为x+2y1 0，xy+20，2x+y50. 作平行于直线3x2y=0 的直线系3x2y=tt 为参数，即平移直线y=23x，观察图形可知： 当直线 y=23x21t 过 A 3，1时， 纵截距21tt 最大， tmax=3 321=11；当直线 y=23x21t 经过点 B1， 1时，纵截距21t 最大，此时t 有最小值为tmin= 3 1 21=5. 因此，函数z=3x2y 在约束条件x+2y1 0，xy+20，2x+y50 6.某校伙食长期以面粉和
14、大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6 个单位，含淀粉4个单位，售价0.5 元，米食每100 g 含蛋白质3 个单位，含淀粉7 个单位，售价0.4 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8 个单位的蛋白质和10 个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少? 解：设每盒盒饭需要面食x百克，米食 y百克，xyOA6 +3 =8xy4 +7 =10 xy所需费用为Sxy，且 x、y 满足6x+3y8，4x+7y 10，x0，y0，由图可知，直线y=45x+25S过 A1513，1514时，纵截距25S最小，即S最小 . 故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少.
15、 培养能力A、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg，乙料 5 mg；配一剂 B 种药需甲料5 mg，乙料 4 mg.今有甲料20 mg，乙料 25 mg，假设 A、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法? 解：设 A、B 两种药分别配x、y 剂 x、yN ，则x1，y1，3x+5y 20，5x+4y 25. 下的最大值为11，最小值为5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页上述不等式组的解集是以直线x=1，y=1， 3x+5y=20 及 5x+4y=25 为边界所围成的区域，这个区
16、域内的整点为1，1 、 1，2 、 1，3 、 2，1 、 2，2 、 3，1 、 3，2 、 4，1.所以，在至少各配一剂的情况下，共有8 种不同的配制方法8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况如资金、劳动力确定产品的月供给量， 以使得总利润到达最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金百元月资金供给量百元空调机洗衣机成本30 20 300 劳动力工资5 10 110 单位利润6 8 试问：怎样确定两种货物的月供给量，才能
17、使总利润到达最大，最大利润是多少? 解：设空调机、洗衣机的月供给量分别是x、y 台，总利润是P，则 P=6x+8y，由题意有yOM1015x102030 x+20y 300，5x+10y110，x0，y0，x、y 均为整数 . 由图知直线y=43x+81P 过 MP 也取最大值Pmax=64+89=96百元 . 故当月供给量为空调机4 台，洗衣机9 台时，可获得最大利润9600 元 . 探究创新fx=x2+ax+2b=0 的一个根在0，1内，另一个根在1， 2内，求：112ab的值域；2 a12+b22的值域；3a+b3 的值域 . f0 0 f1 0 f2 0 b0，a+b+10，a+b+2
18、0. 如下图 . A 3，1 、B 2，0 、C 1，0. 解：由题意知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页OABCa b+ =-1a b+ =-2b=0ab又由所要求的量的几何意义知，值域分别为 1 41，1 ； 2 8，17 ； 3 5，4. 思悟小结简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是： 在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模
19、型，归结为线性规划，使用图解法解决. 图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点即边界线的交点处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标. 教师下载中心教学点睛线性规划是新增添的教学内容，应予以足够重视. 线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式组表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础，因为在直线Ax+By+C
20、=0 同一侧的所有点x，y实数 Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点x0，y0 假设原点不在直线上，则取原点0，0最简便，把它的坐标代入Ax+By+C=0， 由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+C0或 0表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法. 在求线性目标函数z=ax+by 的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右或左平移时， t 值随之增大或减小 ，要会在可行域中确定最优解. 解线性规划应用题步骤：1设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数；2利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数到达最大或最小. 拓展题例【例 1】 已知 fx=
21、px2q 且 4f1 1， 1f2 5，求 f3的范围 . 解： 4f1 1， 1f2 5，p q 1，pq 4，4pq5，4pq 1. 求 z=9pq 的最值 . O( 0, 1)( 1, 5)( 2, 3)( 3, 7)4 -=- 1p qp q- =-4p q- =-14 -=5p qpq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页p=0，q=1，zmin= 1，p=3，q=7， 1 f3 20. 【例 2】 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，假设A 厂每小时可完成1 辆甲型车和2 辆乙型车； B 厂
22、每小时可完成3 辆甲型车和1 辆乙型车 .今欲制造40 辆甲型车和20 辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？解：设 A 厂工作 x h，B 厂工作 y h，总工作时数为t h，则 t=x+y，且 x+3y40，2x+y20，x0，y0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点纵、横坐标都是整数的点称为格子点，于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点 x，y ，使 t=x+y的值为最小 . xyOPQR2 + =20 x yxy+3 =40由图知当直线l：y= x+t 过 Q 点时，纵、横截距t 最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q 点是否是格子点. x+3y=40，2x+y=20，得 Q4，12为格子点 . 故 A 厂工作 4 h，B 厂工作 12 h，可使所费的总工作时数最少. 如图，zmax=20，解方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页