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1、第 2 节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 知 识 梳 理 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)对于直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，使得 AxByC 的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式 AxByC0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式AxByC0 时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；当 b0 表示的平面区域在直线 xy10 的下方.(4)直线 axbyz0 在 y 轴上的截距是zb.2.下列各点中，不在 xy10 表示的平面区域内的是()A.(0，0)B.(1，1)C.(1，3)
2、D.(2，3)答案 C 解析 把各点的坐标代入可得(1，3)不适合，故选 C.3.(必修 5P86T3 改编)不等式组x3y60，xy20，则题中的不等式组表示的平面区域为以(1，0)，k2k，12k，1，1k为顶点的三角形区域(包含边界)，易得当目标函数 z3xy 经过平面区域内点k2k，12k时，z3xy 取得最小值 zmin3k2k12k1，解得 k12.考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例 1】(1)(一题多解)不等式(x2y1)(xy3)0 在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()(2)设不等式组y0，xy1，ymx所表示的区域面积为 S(mR).
3、若 S1，则()A.m2 B.2m0 C.0m2 D.m2 答案(1)C(2)A 解析(1)法一 不等式(x2y1)(xy3)0 等价于x2y10，xy30或x2y10，xy30，画出对应的平面区域，可知 C 正确.法二 结合图形，由于点(0，0)和(0，4)都适合原不等式，所以点(0，0)和(0，4)必在区域内，故选 C.(2)如图，当 xy1 与 ymx 的交点为(1，2)时，阴影部分的面积为 1，此时 m2，若 S1，则 m2，故选 A.感悟升华 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试
4、点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.【训练 1】若不等式组xy20，x2y20，xy2m0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则 m 的值为()A.3 B.1 C.43 D.3 答案 B 解析 如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，则 m1，由xy20，xy2m0，解得x1m，y1m，即 A(1m，1m).由x2y20，xy2m0，解得x2343m，y2323m，即 B2343m，2323m，所围成的区域为ABC，则 SABCSADCSBDC12(22m)(1m)12(22m)23(1m)13(1m)243，解得 m3(舍去)或 m1.故选B.考
5、点二 线性规划相关问题 角度 1 求线性目标函数的最值【例 21】(2020浙江卷)若实数 x，y 满足约束条件x3y10，xy30，则 zx2y的取值范围是()A.(，4 B.4，)C.5，)D.(，)答案 B 解析 如图，l1：x3y10，l2：xy30.不等式组x3y10，xy30 表示的平面区域为阴影部分.设初始直线为 l：y12x，直线 l 通过向上平移经过可行域内的第一个点为 l1与l2的交点 P(2，1)，因此 z 的最小值 zmin2214，所以 z4.故选 B.角度 2 求非线性目标函数的最值【例 22】(1)已知实数 x，y 满足不等式组x0，x2y0，xy30，则(x1)
6、2(y2)2的取值范围是()A.1，5 B.5，5 C.5，25 D.5，26(2)(2020湖州期末质检)实数 x，y 满足约束条件y1，yx0，yx0，则目标函数 zy1x(x0)的取值范围是()A.(2，2)B.(，2)(2，)C.(，22，)D.2，2 答案(1)D(2)C 解析(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示.因为(x1)2(y2)2表示平面区域内的点到点P(1，2)的距离的平方，直线 PO：y2x 与直线 x2y0 垂直，由图知，点 P(1，2)到直线 x2y0 的距离的平方为所求最小值，即为|12（2）|525，与点 A(0，3)的距离的平方为所求最
7、大值，即为(01)23(2)226，所以所求取值范围为5，26，故选 D.(2)在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域为以(0，0)，(1，1)，(1，1)为顶点的三角形区域(含边界)，目标函数 zy1x(x0)表示平面区域内的点与点(0，1)连线的斜率.易知在第一象限内，(0，1)与点(1，1)连线的斜率取得最小值 2；在第二象限内，(0，1)与点(1，1)连线的斜率取得最大值 2，所以 zy1x(x0)的取值范围为(，22，)，故选 C.角度 3 求参数的值或范围【例 23】(1)已知 x，y 满足约束条件xy50，2xy10，ax2y10，若 z2xy 的最大值为8，则实数 a 的
8、值为_.(2)当实数 x，y 满足x2y40，xy10，x1时，1axy4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.答案(1)1(2)1，32 解析(1)将目标函数变形为 y2xz，当 z 取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线 xy50 与 2xy10 的交点(2，3)不能使得目标函数取得最大值8.因为直线 ax2y10 恒过定点0，12，所以要使目标函数能取到最大值，需1a231220，即2a0，从图中可看出 zmin0，不符合题意；若 a0 时，zmin00.最优解在顶点处取得，代入区域的顶点(1，0)，1，32，(2，1)，1a4，1a324，12a14，1a32.感悟升华 线性规划两类问
9、题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目 标 函 数 有：截 距 型：形 如 z ax by；距 离 型：形 如 z（xa）2（yb）2；斜率型：形如 zybxa.(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；在符合题意的可行域里，寻求最优解.【训练 2】(1)已知实数 x，y 满足x1，xy0，x2y60，则 zx2y2的最大值为()A.2 B.2 2 C.4 D.8(2)已知实数 x，y 满足约束条件2xy10，xy10，x2y40，若 ztxy 的最小值
10、为 1，则实数t 的取值范围是()A.t2 B.2t1 C.t1 D.t2 或 t1(3)若实数 x，y 满足 x2y21，则|xy1|2x3y1 的最大值是()A.5 B.235 C.4 D.174 答案(1)D(2)B(3)A 解析(1)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，2)，(1，1)，1，52为顶点的三角形及其内部，zx2y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易得平面区域内的点(2，2)到原点的距离最大，则 zmax22228.故选 D.(2)画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知只有平移直线 txy0 经过直线 2xy
11、10 与直线 xy10 的交点 C(0，1)时，目标函数 ztxy 的值为 1，则目标函数 ztxy 要取得最小值 1，直线 ztxy必过点 C(0，1).当 t0 时，则t1，即 0t1；当 t0 时，则t2，即2t1 时，z|xy1|2x3y13x4y 在点35，45处有最大值 5，当xy1 时，z|xy1|2x3y1x2y2 在点(0，1)处有最大值 4，所以|xy1|2x3y1 的最大值是 5，故选 A.基础巩固题组 一、选择题 1.(2020杭州质检)若实数 x，y 满足不等式组xy0，x1，xy0，则()A.y1 B.x2 C.x2y0 D.2xy10 答案 D 解析 在平面直角
12、坐标系内画出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)所示，画出直线2xy10.由图易得平面区域内的点都在直线 2xy10 的右下方，即不等式 2xy10 恒成立，故选 D.2.(2020浙江“超级全能生”联考)在平面直角坐标系中，不等式组yx1，xm，y0(m为常数)所围成的区域面积是 8，则 m 等于()A.3 B.5 C.5 D.3 答案 D 解析 易知 m1，可行域为点(1，0)，(m，0)，(m，m1)围成的等腰直角三角形区域(包含边界)，所以12(m1)28，解得 m3 或 m5，m5 不符合题意，所以 m3，故选 D.3.已知 x，y 满足约束条件xy20，x2y20，2xy
13、20.若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为()A.12或1 B.2 或12 C.2 或 1 D.2 或1 答案 D 解析 如图，由 yaxz 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a0 时，要使 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 a2；当 a0 时，要使 zyax取得最大值的最优解不唯一，则 a1.4.(2020丽水测试)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组2xy20，x2y10，3xy80所表示的平面区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为()A.2 B.1 C.13 D.12 答案 C 解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面
14、区域，其是以(1，0)，(3，1)，(2，2)为顶点的三角形及其内部，由图易得平面区域内的点(3，1)与原点连线的斜率最小，斜率的最小值为103013，故选 C.5.已知 x，y 满足约束条件x1，y1，4xy9，xy3，若目标函数 zymx(m0)的最大值为 1，则 m 的值是()A.209 B.1 C.2 D.5 答案 B 解析 作出可行域，如图所示的阴影部分.化目标函数 zymx(m0)为 ymxz，由图可知，当直线 ymxz 过 A 点时，直线在 y 轴的截距最大，由x1，xy3，解得x1，y2，即 A(1，2)，2m1，解得 m1.故选 B.6.若函数 y2x图象上存在点(x，y)满
15、足约束条件xy30，x2y30，xm，则实数 m 的最大值为()A.12 B.1 C.32 D.2 答案 B 解析 在同一直角坐标系中作出函数 y2x的图象及xy30，x2y30，xm.所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当 m1 时，函数 y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故 m 的最大值为 1.7.已知 O 是坐标原点，点 M 的坐标为(2，1)，若点 N(x，y)为平面区域xy2，x12，yx上的一个动点，则OMON的最大值是()A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 依题意得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A12，12，B12，32，C(1，1
16、).设 zOMON2xy，当目标函数 z2xy 过点 C(1，1)时，z2xy 取得最大值 3.8.(2020名校仿真训练四)若点 M(x，y)满足 x2y22x2y10，1x2，0y2，则 xy 的取值集合是()A.1，4 B.1，2 2 C.2 2，4 D.1，3 答案 B 解析 点 M(x，y)满足x2y22x2y10，1x2，0y2的可行域为图中曲线，令 zxy，变形 yxz.平移直线 yx，当直线经过点 B122，122时截距最大，此时 z 最大，最大值为 2 2，直线经过 D(1，0)时，z 取得最小值，最小值为 1，xy 的取值集合是1，2 2，故选 B.二、填空题 9.若点(2
17、，t)在直线 2x3y60 的上方，则 t 的取值范围是_.答案 23，解析 因为直线 2x3y60 的上方区域可以用不等式 2x3y60 表示，所以由点(2，t)在直线 2x3y60 的上方得43t623.10.已知实数 x，y 满足2xy0，xy0，0 xa，设 bx2y，若 b 的最小值为2，则 b 的最大值为_.答案 10 解析 作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线 l0：x2y0，yx2b2，当 l0平移至 A 点处时 b 有最小值，bmina，又 bmin2，a2，当 l0平移至 B(a，2a)时，b 有最大值 bmaxa2(2a)5a10.11.(2020浙江名师预
18、测卷四)实数 x，y 满足不等式组xy3，x1，y3，动点(x，y)对应的区域面积是_，z2xy1x1的最小值是_.答案 12 32 解析 画出不等式组表示的平面区域易计算得区域面积等于12；z2xy1x12y3x1，其中y3x1表示点(1，3)与区域内的任意点(x，y)连线的斜率，当x1，y2 时，斜率取得最小值12，则 zmin32.12.若实数 x，y 满足约束条件xy10，xy10，y10，则 z|x2y|最大值为_.答案 4 解析 由题意可得，该约束条件满足的平面区域如图所示，是以(0，1)，(2，1)，(2，1)为端点的三角形及其内部区域.|x2y|5|x2y|5表示该平面区域内的
19、点到直线 x2y0 距离的 5倍.由线性规划的特点可知，该目标函数在点(2，1)处取得最大值，其最大值为|x2y|5|22|54.能力提升题组 13.已知实数 x，y 满足xy0，x2y60，x3y0，则 xy 的最大值是()A.92 B.10825 C.4 D.7225 答案 A 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，设直线 x2y60 与曲线 yzx相切于第一象限(z0)，切点为(x0，y0).由 yzx，得 yzx2，所以y0zx0，zx2012，x02y060，解得x03，y032，z92，所以 xy 的最大值为92，故选 A.14.已知实数 x，y 满足条件2
20、x3y60，x4y80，3xy90，则 zxyxy的最大值为_，z取得最大值的最优解为_.答案 1(3，0)解析 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，当x0，y2，此时 z02021，当 x0 时，令 uyx0，)，则 z1yx1yx1u1u2（1u）1u21u12111，即 z 的最大值为 1，此时 uyx0，故最优解为(3，0).15.若实数 x，y 满足不等式组x2y20，x2y20，2xy10，则 2|x1|y 的最大值是()A.143 B.193 C.4 D.1 答案 B 解析 设 z2|x1|y2xy2，x1，2xy2，x1，在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图中
21、阴影部分所示，是以 A(2，0)，B(0，1)，C43，53为顶点的三角形区域(含边界)，z2xy2(x1)在点 A(2，0)处取得最大值 2；z2xy2(x1)在点 C43，53处取得最大值193，故 z2|x1|y 的最大值是193.16.(2021义乌联考)已知点 P(x，y)满足(xcos)2(ysin)21，则满足条件的P 所形成的平面区域的面积为_，z|x1|y|的最大值为_.答案 4 12 2 解析 由题意知动点 P 的轨迹是以(cos，sin)为圆心，1 为半径的圆，其中圆心(cos，sin)在单位圆上，如图 1，动点 P 所形成的平面区域是以 O 为圆心，2为半径的圆，所以其面积 S4.如图 2，易知点 P 在左半圆 x2y24(x0)上时，z|x1|y|最大，由圆的对称性，不妨设点 P(x，y)，x0，y0，所以 z1xy，当直线与圆相切时，z 最大，此时|z1|22，解得 z12 2，所以 zmax12 2.