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1、精品_精品资料_7.4简洁的线性规划学问梳理在平面直角坐标系中,已知直线Ax+By+C=0 ,坐标平面内的点Px0 ,y0 .B 0 时, Ax0+By0 +C 0,就点 Px 0,y0在直线的上方. Ax 0+By0+C 0,就点 Px0,y0在直线的下方 .对于任意的二元一次不等式Ax+By+C0或 0,无论 B 为正值仍是负值,我们都可以把 y 项的系数变形为正数 .当 B 0 时, Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域. Ax+By+C 0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域 .求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.满意线
2、性约束条件的解x,y叫做可行解,由全部可行解组成的集合叫做可行域类似函数的定义域 .使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有很多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法,其步骤如下：1依据题意,设出变量x、y.2找出线性约束条件.3确定线性目标函数z=f x,y.4画出可行域即各约束条件所示区域的公共区域.5利用线性目标函数作平行直线系fx, y =tt 为参数.6观看图形,找到直线fx, y =t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出答案 .点击双基A. 点 0, 0在区域 x+y 0 内B. 点 0, 0在区域 x+y+12x 内D. 点
3、 0, 1在区域 x y+10 内解析：将 0, 0代入 x+y 0,成立 .答案： A2. 2022 年海淀区期末练习题设动点坐标x, y满意x y+1x+y 4 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 3,就 x2+y2 的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.5B.10C. 172解析：数形结合可知当x=3, y=1 时, x2+y2 的最小值为 10.答案： D2x y+1 0,x2y 1 0,表示的平面区域为x+y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：将 0,0代入不等式组适合C,
4、不对.将1 , 1 代入不等式组适合D,不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22对.又知 2x y+1=0 与 x 2y 1=0 关于 y=x 对称且所夹顶角 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| 2tan=|11 |2= 3 .2 1 |42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. 3答案： B4. 点 2, t在直线 2x 3y+6=0 的上方,就 t 的取值范畴是.解析： 2, t在 2x 3y+6=0 的上方,就 2 2 3t+6 0,解得 t 2 .3答案： t 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 0,y 0,4x3 y表
5、示 的平 面区域 内的 整点 横坐 标 和纵 坐标 都是 整 数的 点 共 有12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 个.解析： 1, 1,1, 2,2, 1,共 3 个.答案： 3典例剖析【例 1】 求不等式 x 1 + y 1 2 表示的平面区域的面积 . 剖析：依据条件画出所表达的区域,再依据区域的特点求其面积. 解： x 1 + y 1 2 可化为x1,x 1,x1,x 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 1, 或y1,或y 1,或y 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x+y 4x y 2y x 2x+y 0.其平面区域如图 .y可编
6、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面积 S=Ox1 4 4=8.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评述：画平面区域时作图要尽量精确,要留意边界.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_深化拓展假设再求：y2 .x1 x1 2 y2 2的值域,你会做吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： ,3 23 , +. 1, 5 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】 某人上午 7 时,乘摩托艇以匀速 v n mi le/h 4 v 20从 A 港动身到距 50 n mil e 的 B 港去,然后乘汽车以匀速 w km/h 30
7、 w 100自 B 港向距 300 km 的 CC 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是 x h、 y h.1作图表示满意上述条件的 x、y 范畴.2假如已知所需的经费p=100+3 5 x+2 8 y元,那么 v、w 分别是多少时走得最经济 .此时需花费多少元 .剖析：由 p=100+3 5x+2 8 y可知影响花费的是 3x+2y 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1依题意得 v=50 , w=y300 , 4v 20, 30 w100.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3 x 10,5
8、y225 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y 应在 9 至 14 个小时之间,即 9 x+y14. 因此,满意的点x,y的存在范畴是图中阴影部分包括边界.y1492y+3 x=382. 52 p=100+3 5 x+28Oy ,39 1014 x 3x+2y=131 p.设 131 p=k,那么当 k 最大时, p 最小.在通过图中的阴影部分区域包括边界且斜率为 3 的直线 3x+2y=k 中,使 k 值最大的直线必通过点 10,4,即当 x=10,y=4 时, p 最小.2此时, v=12.5, w=30 , p 的最小值为 93 元.评
9、述：线性规划问题第一要依据实际问题列出表达约束条件的不等式. 然后分析要求量的几何意义 .【例 3】 某矿山车队有 4 辆载重量为10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车, 有 9 名驾驶员 .此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂 .已知甲型卡车每辆每天可来回6 次, 乙型卡车每辆每天可来回8 次.甲型卡车每辆每天的成本费为252 元,乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆,车队所花成本费最低.剖析：弄清题意,明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数,找出它们的约束条件, 列出目标函数,用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x 辆、
10、乙型车 y 辆,车队所花成本费为z 元,那么x+y9,10 6x+6 8x 360,0 x4,0 y7.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z=252x+160y, 其中 x、y N .作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图.yOlx yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作出直线 l 0： 252x+160y=0,把直线ll01+ = 95x+4 y=30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向右上方平移,使其经过可行域上的整点,且使在 y 轴上的截距最小 .观看图形, 可见当直线 252x+160y=t 经过点2,5时,满意上述要求 .此时, z=
11、252 x+160 y 取得最小值,即 x=2, y=5 时, zmin=252 2+160 5=1304.答：每天派出甲型车2 辆,乙型车 5 辆,车队所用成本费最低.评述： 用图解法解线性规划题时,求整数最优解是个难点,对作图精度要求较高,平行直线系 fx, y=t 的斜率要画准,可行域内的整点要找准,最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点 .闯关训练夯实基础1. x12+y 12=1 是 x 1+ y 1 1 的条件 .解析：数形结合 .答案： B2. x+2y+1x y+4 0 表示的平面区域为yy443322- 4 - 3 - 2 - 11Ox- 4 - 3 - 2 - 11OxA
12、Byy4422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：可转化为- 4- 2O x- 4- 2O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x+2y+1 0,x+2y+1 0,0.x y+40或x y+4 CD答案： B3. 2022 年全国卷, 14设 x、y 满意约束条件x0, x y,2x y1,就 z=3x+2y 的最大值是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：如图,当 x=y=1 时, zmax=5.yy =2x - 1y= x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1O1 1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 5x、
13、y 满意条件 .x 4y+3 0, 3x+5y 25 0, x1,设 z=y ,就 z 的最小值为,最大值为x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z 看作常数时,它表示直线y=zx 的斜率,因此,当直线y=zx 过点 A 时, z 最大.当直线 y=zx 过点 B 时, z 最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x+5yy-25 =05ABx- 4 y+3=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-3O91 2 3 45 6 7 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 1,由223x 5y 25
14、0,得 A 1, 5 .x 4y+3=0,由得 B5,2.3x+5y 25=0,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ zmax 51 22 ,zmin 2 55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 22255A3, 1、B 1, 1、 C 1, 3为顶点的 ABC 的区域包括各边 ,写出该区域所表示的二元一次不等式组,并求以该区域为可行域的目标函数 z=3 x 2y 的最大值和最小值 .分析：本例含三个问题：画指定区域.写所画区域的代数表达式不等式组.求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图,连结点A、B、C,就直线 AB 、BC、 CA 所围
15、成的区域为所求ABC 区域 .y2CBP 1,1-23O1xA直线 AB 的方程为 x+2y 1=0 , BC 及 CA 的直线方程分别为xy+2=0 , 2x+y 5=0.在 ABC 内取一点 P1,1,分别代入x+2y 1, x y+2, 2x+y 5 得 x+2 y10 , xy+20 , 2x+y 50.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此所求区域的不等式组为x+2y 1 0, x y+20, 2x+y 50.作平行于直线 3x2y=0 的直线系 3x 2y=tt 为参数,即平移直线 y= 3 x,观看图形2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可知： 当直线
16、 y= 3 x21=11.1t 过 A3, 1时, 纵截距21tt 最大, tmax=3 3 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当直线 y= 3 x21t 经过点 B 1, 1时,纵截距21t 最大,此时 t 有最小值为 t min=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 1 2 1=5.因此,函数 z=3x 2y 在约束条件x+2y 1 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x y+20, 2x+y 50下的最大值为 11,最小值为 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.某校伙食长期以面粉和大米为主食,面食每100 g 含蛋白质
17、 6 个单位,含淀粉4 个单位,售价 0.5 元,米食每 100 g 含蛋白质 3 个单位,含淀粉 7 个单位,售价0.4 元,学校要求给同学配制盒饭,每盒盒饭至少有8 个单位的蛋白质和10 个单位的淀粉,问应如何配制盒饭,才既科学又费用最少.解：设每盒盒饭需要面食x百克,米食 y百克,y6x +3y=84x +7y=10AOx所需费用为 Sxy,且 x、y 满意6x+3y 8,4x+7y 10, x 0, y 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图可知,直线 y=5 x+ 5 S 过 A 13 , 14 时,纵截距5S 最小,即 S 最小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精
18、品_精品资料_4215152可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故每盒盒饭为面食培育才能13 百克,米食1514 百克时既科学又费用最少.15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、B 两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂A 种药需甲料 3 mg,乙料 5 mg. 配一剂 B 种药需甲料 5 mg ,乙料 4 mg. 今有甲料 20 mg ,乙料 25 mg ,假设 A、B 两种药至少各配一剂,问共有多少种配制方法.解：设 A、B 两种药分别配 x、y 剂 x、yN ,就x1,y 1,3x+5y 20,5x+4y 25.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
19、_上述不等式组的解集是以直线x=1 ,y=1, 3x+5y=20 及 5x+4y=25 为边界所围成的区域, 这个区域内的整点为 1,1、1,2、1,3、2,1、2,2、3,1、3,2、4,1. 所以,在至少各配一剂的情形下,共有8 种不同的配制方法8.某公司方案在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量特别大,有多少就能销售多少,因此该公司要依据实际情形如资金、劳动力确定产品单位产品所需资金百元资 金成 本空调机30洗衣机20月资金供应量百元300试问：怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润到达最大,最大利润是多少.解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y 台,总
20、利润是 P,就 P=6x+8 y,由题意有y1510MO1020x30x+20 y 300,5x+10y110, x 0, y 0,x、y 均为整数 .由图知直线y= 3 x+ 1 P 过 MP 也取最大值48Pmax=64+8 9=96百元 .故当月供应量为空调机4 台,洗衣机探究创新9 台时,可获得最大利润9600 元.fx=x2+ax+2b=0 的一个根在 0, 1内,另一个根在 1, 2内,求：1 ba2 的值域.12a 1 2+b 22 的值域.3a+b 3 的值域 .f0 0解：由题意知f1 0f2 0b0,a+b+1 0, a+b+2 0.的月供应量, 以使得总利润到达最大.已知
21、对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力, 通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表：劳动力工资510110单位利润68如下图 . A 3, 1、 B 2, 0、C 1, 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bACOb=0Baa +b =-1a+b=-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由所要求的量的几何意义知,值域分别为 1思悟小结1 ,1.28,17.3 5,4.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简洁的线性规划在实际生产生活中应用特别广泛, 主要解决的问题是： 在资源的限制下, 如何使用资源来完成最多的生产任务. 或是给定一项任务, 如
22、何合理支配和规划, 能以最少的资源来完成 .如常见的任务支配问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题,通常解法是将实际问题转化为数学模型,归结为线性规划,使用图解法解决 .图解法解决线性规划问题时,依据约束条件画出可行域是关键的一步. 一般的,可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开放的非封闭平面区域.其次是画好线性目标函数对应 的平行直线系,特殊是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判定精确.通常最优解在可行域的顶点即边界线的交点处取得,但最优整数解不肯定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最终经过的那一整点的坐标.老师下载中心教学点睛线性规划是新增加的教
23、学内容,应予以足够重视.线性规划问题中的可行域,实际上是二元一次不等式组表示的平面区域,是解决线性规划问题的基础,由于在直线Ax+By+C=0 同一侧的全部点 x,y实数 Ax+By+C 的符号相同,所以只需在此直线的某一侧任取一点x0,y0假设原点不在直线上,就取原点0, 0最简便,把它的坐标代入 Ax+By+C=0 ,由其值的符号即可判定二元一次不等式Ax+By+C0或 0表示直线的哪一侧 .这是教材介绍的方法 .在求线性目标函数z=ax+by 的最大值或最小值时,设ax+by=t,就此直线往右或左平移时, t 值随之增大或减小 ,要会在可行域中确定最优解.解线性规划应用题步骤：1 设出决
24、策变量,找出线性约束条件和线性目标函数.2利用图象在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数到达最大或最小.拓展题例【例 1】 已知 fx=px2 q 且 4 f1 1, 1 f2 5,求 f3的范畴 .解： 4 f1 1, 1 f2 5, p q 1,p q 4,4p q 5,4p q 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 z=9 pq 的最值 .4p- q=- 1q 3, 7p- q=-4p- q=-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1, 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0, 1O 2, 34p- q=5p可编辑资料 - - - 欢
25、迎下载精品_精品资料_如图, p=0, q=1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zmin= 1,p=3,q=7 , zmax=20 , 1 f3 20.【例 2】 某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型号的汽车,假设A 厂每小时可完成 1 辆甲型车和2 辆乙型车. B 厂每小时可完成 3 辆甲型车和 1 辆乙型车 .今欲制造40 辆甲型车和 20 辆乙型车,问这两家工厂各工作几小时,才能使所费的总工作时数最少？解：设 A 厂工作 x h,B 厂工作 y h,总工作时数为 t h,就 t=x+y,且 x+3y 40, 2x+y 20, x 0, y 0,可行解区域如图 .而
26、符合问题的解为此区域内的格子点纵、横坐标都是整数的点称为格子点 ,于是问题变为要在此可行解区域内,找出格子点 x,y,使 t=x+y的值为最小 .yRx +3 y=40Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OP由图知当直线 l： y= x+t 过 Q 点时,纵、横2x截+y=距20格子点,我们仍必需看Q 点是否是格子点 .x+3y=40 ,xt 最小,但由于符合题意的解必需是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程组2x+y=20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 Q4, 12为格子点 .故 A 厂工作 4 h, B 厂工作 12 h,可使所费的总工作时数最少.可编辑资料 - - - 欢迎下载