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1、理数 课标版,第二节两直线的位置关系与距离公式,1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行: 对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为k1、k2,则有l1l2k1=k2. 当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1l2.,教材研读,(2)两条直线垂直: 如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1l2k1k2=-1. 当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1l2.,2.两条直线的公共点,3.三种距离,判断下面结论是否正确.(请在括号中打“”或“”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2l1l2.() (2)如果两条直线l1与l2垂
2、直,则它们的斜率之积一定等于-1.() (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.(),1.两条直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交点为() A.B. C.D. 答案B解方程组得 所以两直线的交点为.,2.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为() A.1B.C.D.2 答案B由题意可知l1与l2平行,故l1与l2之间的距离d= =,故选B.,3.已知p:直线l1:x-y-1=0与直线l2:x+ay-2=0平行,q:a=-1,则p是q的() A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 答案A由
3、于直线l1:x-y-1=0与直线l2:x+ay-2=0平行的充要条件是1a-(-1)1=0,即a=-1,所以p是q的充要条件.,4.已知点P(-1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称,则直线l的方程为. 答案x+y-4=0 解析线段PQ的中点坐标为(1,3),直线PQ的斜率k1=1,直线l的斜率k2=-1,直线l的方程为x+y-4=0.,5.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是. 答案2 解析由题意知=,m=8, 直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0, 两平行线之间的距离d=2.,考点一两条直线的平行与垂直 典例1已知直线l1:ax+2y+6
4、=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)当l1l2时,求a的值; (2)当l1l2时,求a的值. 解析(1)解法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a1且a0时,两直线方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1), 由l1l2可得解得a=-1. 综上可知,a=-1.,考点突破,解法二:由l1l2知即 a=-1. (2)解法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不符合; 当a1时,l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+
5、1), 由l1l2得=-1a=. 解法二:l1l2,A1A2+B1B2=0,即a+2(a-1)=0,得a=.,方法技巧 (1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)判定两条直线平行或垂直时,可直接利用直线方程(一般式)的系数间的关系得出结论.其依据是:若直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1l2A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C10(或B1C2-B2C10);l1l2A1A2+B1B2=0.,1-1已知过点A(-2,
6、m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1l2,l2l3,则实数m+n的值为() A.-10B.-2C.0D.8 答案Al1l2,=-2(m-2),解得m=-8(经检验,l1与l2不重合), l2l3,21+1n=0,解得n=-2,m+n=-10.,1-2经过直线l1:x+y+1=0与直线l2:x-y+3=0的交点P,且与直线l3:2x-y+2=0垂直的直线l的方程是. 答案x+2y=0 解析解法一:由方程组解得即点P(-2,1), 由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x+2), l3l,k=-,直线l的方程为y-1=-(
7、x+2),即x+2y=0. 解法二:因为直线l过直线l1和l2的交点, 所以可设直线l的方程为x+y+1+(x-y+3)=0,即(1+)x+(1-)y+1+3=0.,因为l与l3垂直,所以2(1+)-(1-)=0,所以=-, 所以直线l的方程为x+y=0,即x+2y=0.,考点二距离问题 典例2(2017四川广元中学期末)已知点A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2. 解析设点P的坐标为(a,b). A(4,-3),B(2,-1), 线段AB的中点坐标为(3,-2). 又kAB=-1, 线段AB的垂直平分
8、线的斜率为1, 线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3, 即x-y-5=0. 点P(a,b)在直线x-y-5=0上, a-b-5=0.,又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2, =2, 即4a+3b-2=10, 联立求得或 点P的坐标为(1,-4)或.,方法技巧 1.两点间距离公式的应用类型 (1)直接应用公式求距离. (2)根据距离求相关参数的值. (3)常用距离公式构造函数,解决最值、范围等问题.,2.点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式.,3.两平行线间的距离的求法 (1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直
9、线上任意一点到另一条直线的距离. (2)利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x、y的系数化为相同的形式).,2-1已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围为. 答案0,10 解析由题意得,点P到直线的距离为=.,3,即|15-3a|15, 解得0a10,所以a的取值范围是0,10.,2-2已知l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是. 答案x+2y-3=0 解析当直线AB与l1,l2垂直时,l1,l2间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所以kAB=2,所以满足题
10、意的两平行直线的斜率为k=-,所以直线l1的方 程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.,考点三对称问题 命题角度一点关于点的对称 典例3过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程. 解析设l1与l的交点为A(a,8-2a), 则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上, 将其代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0, 解得a=4,则A(4,0),又P(0,1), 所以由两点式可得直线l的方程为x+4y-4=0.,命题角度二点关于线的对称 典例4求点A(-1,-2)关于直线l:2x-3y
11、+1=0的对称点A的坐标. 解析设A(x,y),则由已知得 解得A.,命题角度三线关于点的对称 典例5求直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程. 解析设P(x,y)为l上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y), 点P在直线l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0. 直线l的方程为2x-3y-9=0.,命题角度四线关于线的对称 典例6求直线m:3x-2y-6=0关于直线l:2x-3y+1=0的对称直线m的方程. 解析在直线m上任取一点,如点M(2,0),则点M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线
12、m上. 设点M的对称点M的坐标为(a,b),则 解得 故点M的坐标为. 设直线m与直线l的交点为N, 由解得则N(4,3).,由两点式可得直线m的方程为9x-46y+102=0.,方法技巧 常见对称问题的求解方法: (1)中心对称 若点M(x1,y1)与N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 若两直线关于点对称,则在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用原直线与其关于点对称的直线平行,由点斜式得到所求直线方程. (2)轴对称 点关于直线的对称,若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:A
13、x+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,且直线P1P2垂直于对称轴l,由方程组可解得已知点P1关于已知直线l对称的点P2 的坐标(x2,y2). 直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.,3-1已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是. 答案,解析由题意得线段AB的中点在直线y=kx+b上,直线AB与直线y =kx+b垂直,故解得k=-,b=.所以直线y=kx+b的方程即 为y=-x+.令y=0,即-x+=0,解得x=,故直线y=kx+b在x轴上的截距为 .,3-2已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l1与l2关于l对称,则直线l2的方程是() A.x-2y+1=0B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0D.x+2y-1=0 答案B因为直线l1与l2关于l对称,所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上,故l与l1的交点(1,0)在l2上.又易知(0,-2)为l1上一点,设它关于l的对称点为(x,y),则解得 (1,0),(-1,-1)为l2上两点, 由两点式可得直线l2的方程为x-2y-1=0.,