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1、理数 课标版,第二节命题及其关系、充分条件与必要条件,1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做 假命题.,教材研读,2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 (i)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;,(ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.,3.充分条件与必要条件 (1)若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)若pq,且q p,则p是q的充分而不必要条件. (3)若p q,且qp,则p是q的必要而不充分条件. (4)若pq,则p与q互为充
2、要条件. (5)若p q,且q p,则p是q的既不充分也不必要条件.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“x2+2x-80”是命题.() (2)一个命题非真即假.() (3)四种形式的命题中,真命题的个数为0或2或4.() (4)若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件.() (5)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.(),1.(2015山东,5,5分)设mR,命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是() A.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0 D.若方程x
3、2+x-m=0没有实根,则m0 答案D命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m0”,故选D.,2.“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案B若x=1,则(x-1)(x+2)=0显然成立,但反之不一定成立,即若(x-1)(x+2)=0,则x=1或-2.,3.原命题“设a、b、cR,若ab,则ac2bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有() A.0个B.1个 C.2个D.4个 答案C由题意可知原命题是假命题,所以逆否命题是假命题;逆命题为
4、“设a、b、cR,若ac2bc2,则ab”,该命题是真命题,所以否命题也是真命题,故真命题有2个,故选C.,4.设a,b均为非零向量,则“ab”是“a与b的方向相同”的条件. 答案必要但不充分,5.“在ABC中,若C=90,则A,B都是锐角”的否命题为. 答案在ABC中,若C90,则A,B不都是锐角 解析原命题的前提:在ABC中,条件:C=90, 结论:A,B都是锐角,否命题需否定条件和结论. 原命题的否命题为“在ABC中,若C90,则A,B不都是锐角”.,考点一命题及其相互关系 典例1以下关于命题的说法正确的有(填写所有正确命题的序号). “若log2a0,则函数f(x)=logax(a0,
5、a1)在其定义域内是减函数”是真命题; 命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a0,则ab0”; 命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题; 命题“若aM,则bM”与命题“若bM,则aM”等价.,考点突破,答案 解析对于,若log2a0=log21,则a1,所以函数f(x)=logax在其定义域内是增函数,故不正确;对于,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x、y都是偶数”, 其是假命题,如1+3=4,4是偶数,但1和3均为奇数,故不正确;对于,不难看出,命题“若aM,则bM”与命题“若bM,则aM”互为逆否命题,因此二者
6、等价,所以正确.综上可知正确的说法有.,易错警示 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: 对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; 若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.,1-1命题“若x2+3x-4=0,则x=-4”的逆否命题及其真假性为() A.“若x=-4,则x2+3x-4=0”,为真命题 B.“若x-4,则x2+3x-40”,为真命题 C.“若x-4,则x2+3x-40”,为假命题 D.“若x=-4,则x2+3x-4=0”,为假命题 答案C逆否命题为“若x-4,则x2+3x-40”,由x2
7、+3x-4=0,得x=-4或1,原命题为假,则逆否命题为假.故选C.,1-2(2017河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是() A.命题“若x1,则x21”的否命题 B.命题“若xy,则x|y|”的逆命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若1,则x1”的逆否命题 答案B对于A,命题“若x1,则x21”的否命题为“若x1,则x21”,易知当x=-2时,x2=41,故为假命题;对于B,命题“若xy,则x|y|”的逆命题为“若x|y|,则xy”,分析可知为真命题;对于C,命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x1,则x2+x-20”,易知当x=-2时,
8、x2+x-2=0,故为假命题;对于D,命题“若1,则x1”的逆否命题为“若x1,则 1”,易知为假命题,故选B.,考点二充分、必要条件的判断 典例2(1)(2016四川,7,5分)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)22,q:实数x,y满足则p是q的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)(2015天津,4改编)设xR,则“x2+x-20”是“|x-2|1”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件,答案(1)A(2)B 解析(1)如图作出p,q表示的区域,其中M及其内部为p表示的区域, ABC
9、及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件. (2)|x-2|0 x1.由于(1,3)(-,-2)(1,+),所以“x2+x-20”是“|x-2|1”的必要而不充分条件.,方法技巧 充要条件的3种判断方法 (1)定义法:根据pq,qp进行判断; (2)集合法:根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断; (3)等价转换法:利用pq与qp,pq与qp的等价关系进行判断,对于条件或结论是否定形式的命题一般运用等价法.,2-1设集合M=1,2,N=a2,则“a=1”是“NM”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案A若a=1
10、,则N=1,从而NM,a=1NM. 若NM,则a2M,a2=1或a2=2. a=1或a=.NM/ a=1. 因此“a=1”是“NM”的充分不必要条件.,2-2(2016湖南岳阳平江一中期中)设p:x2-x-200,q:log2(x-5)0,x5或x5或x5或x-4,p是q的必要不充分条件.故选B.,2-3已知条件p:x+y-2,条件q:x,y不都是-1,则p是q的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案A因为p:x+y-2,q:x-1,或y-1, 所以p:x+y=-2,q:x=-1,且y=-1, 易知qp但p/ q,所以q是p的充分不必要条件,即p
11、是q的充分不必要条件.,考点三充分、必要条件的应用 典例3已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若xP是xS的必要条件,则m的取值范围为. 答案0,3,解析由x2-8x-200得-2x10, P=x|-2x10, 由xP是xS的必要条件,知SP. 则0m3. 即所求m的取值范围是0,3.,方法技巧 根据充要条件求解参数范围的方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解. (2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.,变式3-1把本例中的“必要条件”改为“充分条件”,求m的取值范围. 解析由xP是xS的充分条件,知PS, 则解得m9, 即所求m的取值范围是9,+).,变式3-2本例条件不变,问是否存在实数m,使xP是xS的充要条件?并说明理由. 解析不存在. 理由:若xP是xS的充要条件,则P=S, 无解, 不存在实数m,使xP是xS的充要条件.,