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1、理数 课标版,第二节函数的单调性与最值,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,教材研读,(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的 单调区间.,2.函数的最值,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数y=的单调递减区间是(-,0)(0,+).() (2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性.() (3)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)f(3),则函数f(x)在R上为增函数.(),(4)函数y=f(x)在1,+)上是增函数,则函数的单调递
2、增区间是1,+). () (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.() (6)所有的单调函数都有最值.(),1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是() A.y=|x|B.y=3-xC.y=D.y=-x2+4 答案Ay=3-x在R上递减,y=在(0,+)上递减,y=-x2+4在(0,+)上递 减,故选A.,2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则() A.mB.m-D.m- 答案By=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-10,即m.,3.若函数f(x)满足“对任意x1,x2R,当x1f(x2)”,则满足f(2x- 1)1,即x1
3、,x的取值范围为(1,+).,4.设定义在-1,7上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的增区间为. 答案-1,1,5,7,5.已知f(x)=,x2,6,则f(x)的最大值为,最小值为. 答案2; 解析易知函数f(x)=在x2,6上为减函数,故f(x)max=f(2)=2, f(x)min= f(6)=.,考点一确定函数的单调性(区间) 典例1(1)判断函数f(x)=x+(a0)在(0,+)上的单调性; (2)求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间. 解析(1)设x1,x2是任意两个正数,且x10,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(0,上是减函数; 当x1a,
4、x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 所以函数f(x)在,+)上是增函数.,考点突破,综上可知,函数f(x)=x+(a0)在(0,上是减函数,在,+)上为增函 数. (2)易知f(x)= = 画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-,-1)和0,1,单调递减区间为-1,0和1,+).,方法技巧 1.判断函数单调性的常用方法 (1)定义法和导数法:注意证明函数在某区间上具有单调性只能用定义法和导数法. (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的升、降判断函数的单调性.,2.确定函数的单调区间的方法 (1)定义法:先求定义
5、域,再利用单调区间的定义来求. (2)图象法:由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续且有多个上升段(下降段)的函数,其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,一般不能用“”连接. (3)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.,1-1(2017安徽芜湖一中月考)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是() A.y=B.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-x 答案D选项A中,y=的图象是将y=-的图象向右平移1 个单位得到的,故y=在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y= cos x在(-1,0)上为增函
6、数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.,变式1-2若将本例(2)中函数变为f(x)=|-x2+2x+1|,如何求解? 解析函数y=|-x2+2x+1|的图象如图所示.由图象可知,函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间为(1-,1)和(1+,+);单调递减区间为(-,1-)和 (1,1+).,1-3试讨论函数f(x)=(a0)在(-1,1)上的单调性. 解析解法一:(定义法) 任取x1,x2(-1,1),且x1x2, f(x)=a=a,
7、f(x1)-f(x2)=a-a=. 由于-1x1x21,所以x2-x10,x1-10时, f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a0时,在(-1,1)上, f (x)0,函数f(x)在(-1,1)上递增.,考点二求函数的最值(值域) 典例2(1)函数y=x+的最小值为; (2)函数f(x)=-+b(a0)在上的值域为,则a=,b=. 答案(1)1(2)1; 解析(1)令=t,则t0,x=t2+1,所以y=t2+t+1=+, 当t0时,由二次函数的性质可知,当t=0时,ymin=1. (2)f(x)=-+b(a0)在上是增函数, f(x)min
8、=f=, f(x)max=f(2)=2.,即解得a=1,b=.,方法技巧 求函数最值的三种常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. 2-1函数f(x)=的最大值是. 答案2 解析当x1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1) =1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2. 故函数f(x)的最大值为2.,2-2函数y=的值域为. 答案 解析解法一:y=2+
9、=2+,2y,值域为. 解法二:函数可化为(y-2)x2+(2-y)x+y-3=0.当y-20时,上述方程可看作关于x的一元二次方程,要使其有解, 则,2y. 当y-2=0时,方程无解. 值域为.,2-3用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的最大值是. 答案6 解析在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的图象,如图所示.,由图象可知,函数f(x)在x=2处取得最大值6.,考点三函数单调性的应用 命题角度一比较函数值大小 典例3已知函数
10、f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)abB.cbaC.acbD.bac 答案D 解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+)上是减函数. 所以a=f=f,f(2)f(2.5)f(3),所以bac.,命题角度二解函数不等式 典例4(2016滨州模拟)f(x)是定义在(0,+)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,当f(x)+f(x-8)2时,x的取值范围是() A.(8,+)B.(8,9 C.8,9D.(0,8) 答案B 解析2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f
11、(x-8)2,可得f(x(x-8)f(9),因为 f(x)是定义在(0,+)上的增函数,所以有解得8x9.,命题角度三求参数的取值范围 典例5已知函数f(x)=其中a0,且a1,若f(x)在(-, +)上单调递增,则实数a的取值范围为. 答案(2,3 解析要使函数f(x)在R上单调递增, 则有即 解得2a3, 即实数a的取值范围是(2,3.,方法技巧 函数单调性的应用比较广泛,可用来比较函数值的大小、解函数不等式、求参数的范围等. (1)利用函数单调性比较两个函数值的大小 若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2A,则x1f(x2).若给定的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较其函
12、数值的大小,否则,要先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比较其函数值的大小. (2)利用函数单调性解函数不等式 解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”,变函数 不等式为一般不等式.去掉“f ”时,要注意f(x)的定义域的限制.,(3)利用函数的单调性求参数的取值范围 依据函数单调性的定义,通过作差构造关于参数的不等式,再进行求解. 3-1(2016泰安模拟)已知函数f(x)是定义在0,+)上的增函数,则满足 f(2x-1)f的x的取值范围是() A.B. C.D. 答案D由题意得解得x.,3-2(2017四川六安一中月考)已知函数f(x)=(a0)在(2,+)上递 增,则实数a的取值范围为. 答案(0,4 解析任取x1,x2(2,+),且x1a恒成立. 又x1x24,a0,则0a4. 即实数a的取值范围是(0,4.,