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1、理数 课标版,第九节直线与圆锥曲线的位置关系,1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (1)当a0时,可考虑一元二次方程的判别式,有 (i)0直线与圆锥曲线相交; (ii)=0直线与圆锥曲线相切; (iii)0直线与圆锥曲线相离.,教材研读,(2)当a=0,b0时,得到一个一元一次方程,则直线与圆锥曲线相交,且只有一个交点. (i)若圆锥曲线为双曲线,则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行; (ii)若圆锥曲线为抛物线,则直线与抛物线的对称轴的位置关系是 平行或重合.,2.圆锥
2、曲线的弦长 设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|=|x2-x1|=|y2-y1|.,1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为() A.相交B.相切C.相离D.不确定 答案A由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),又(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆相交.,2.直线y=x+3与双曲线-=1(a0,b0)的交点个数是() A.1B.2C.1或2D.0 答案A因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双 曲线只有1个交点.,3.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段A
3、B中点的直线的斜率为,则的值为() A.B.C.D. 答案A设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),结合题意,由点差法得,=-=-=-1,=.,4.已知椭圆C:+=1(ab0),F(,0)为其右焦点,过点F且垂直于x轴 的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为. 答案+=1 解析由题意得解得所以椭圆C的方程为+=1.,5.过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135的直线,交抛物线于A,B两点,则弦AB的长为. 答案16,解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),直线AB的倾斜角为135,故直线AB的方程为y=-x+2
4、,代入抛物线方程y2=8x,得x2-12x+4=0,则x1+x2=12,x1x2=4,则|AB|=x1+x2+4=12+4=16.,考点一直线与圆锥曲线的位置关系 典例1(2016课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H. (1)求; (2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由. 解析(1)由已知得M(0,t),P.(1分) 又N为M关于点P的对称点,故N ,ON的方程为y= x,代入y2=2px整 理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2= .,考
5、点突破,因此H.(4分) 所以N为OH的中点,即=2.(6分) (2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分) 理由如下: 直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).(9分),代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t, 即直线MH与C只有一个公共点, 所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分),方法技巧 直线与圆锥曲线位置关系问题的求解策略 (1)直线与圆锥曲线相交或相离时,可直接联立直线与圆锥曲线的方程,结合消元后的一元二次方程求解. (2)直线与圆锥曲线相切时,尤其是抛物线与双曲线,要数形结合求解. 1-1在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=
6、1(ab0)的左焦点 为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.,解析(1)由题意得a2-b2=1,b=1,则a=, 椭圆C1的方程为+y2=1. (2)易得直线l的斜率存在且不为零,则可设l的方程为y=kx+m(k0).,由消去y,整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,1=16k2m2-8(m2-1)(2k2+1)=16k2+8-8m2=0, 即m2=2k2+1. 由消去y,整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0,2=(2km-4)2-4k2m2=16-16km=0,即
7、km=1, ,由得m=,代入得=2k2+1,即2k4+k2-1=0. 令t=k2,则2t2+t-1=0, 解得t1=,t2=-1(舍), 或 直线l的方程为y=x+或y=-x-.,考点二弦长问题 典例2已知椭圆C:+=1(ab0)的一个顶点为A(2,0),离心率为. 直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N. (1)求椭圆C的方程; (2)当AMN的面积为时,求k的值.,解析(1)由题意得 解得,所以椭圆C的方程为+=1.,(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.,=(-4k2)2-4(1+2k2)(2k2-4)=24k2+160. 设点M,N的坐标分别为(x1,y1)
8、,(x2,y2),则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=,x1x2=. 所以|MN|= = =. 又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=, 所以AMN的面积S=|MN|d=. 由=,解得k=1.,方法技巧 弦长的计算方法与技巧 求弦长时可利用弦长公式,根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式,然后整体代入弦长公式求解. 注意两种特殊情况:(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直.(2)直线过圆锥曲线的焦点. 2-1设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0b1)的左,右焦点,过F1的直线l与E 相交于
9、A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线l的斜率为1,求b的值.,解析(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 又2|AB|=|AF2|+|BF2|, 所以|AB|=. (2)l的方程为y=x+c,其中c=. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则A,B两点坐标满足方程组,化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0. 则x1+x2=,x1x2=. 因为直线AB的斜率为1, 所以|AB|=|x2-x1|, 即=|x2-x1|.,则=(x1+x2)2-4x1x2=-=, 因为0b1,所以b=.,考点三中点弦问题 典例3(1
10、)在椭圆+=1内,通过点M(1,1),且被这点平分的弦所在的 直线方程为() A.x+4y-5=0B.x-4y-5=0C.4x+y-5=0D.4x-y-5=0 (2)若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为() A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1,答案(1)A(2)D 解析(1)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则 由-,得+=0, 因为 所以=-=-, 所以所求直线方程为y-1=-(x-1),即x+4y-5=0. (2)因为椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),则a2-b2=4,所以可设
11、椭圆方程为+=1, 联立,得(10b2+4)y2-14(b2+4)y-9b4+13b2+196=0, 设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),由一元二次方程根与系数的关系及题意得y1+y2=2,解得b2=8. 所以a2=12. 则椭圆的方程为+=1.,方法技巧 处理中点弦问题的常用方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线 的斜率,借用中点公式即可求得斜率. (2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程,将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.,3-1抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点.若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为() A.y=2x2B.y2=2x C.x2=2yD.y2=-2x 答案B设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px,则 两式相减可得2p=(y1+y2)=kAB2=2, 即可得p=1, 抛物线C的方程为y2=2x.,