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1、理数 课标版,第二节导数与函数的单调性,函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f (x)0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内单调递增; (2)若f (x)0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内单调递减; (3)若f (x)=0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内是常数函数.,教材研读,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f (x)0.() (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f (x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.() (3)在(a,b)内f (x)0且f (x)=0的根有
2、有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数. (),1.函数f(x)=cos x-x在(0,)上的单调性是() A.先增后减B.先减后增C.单调递增D.单调递减,答案D在(0,)上, f (x)=-sin x-10,f(x)在(0,)上单调递减,故选D.,2.(2016课标全国,12,5分)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-,+)单调 递增,则a的取值范围是() A.-1,1B.C.D.,答案Cf (x)=1-cos 2x+acos x=1-(2cos2x-1)+acos x=-cos2x+acos x +, f(x)在R上单调递增,则f (x)0在R上恒成立,令cos x=t
3、,则t-1,1,则 -t2+at+0在-1,1上恒成立,即4t2-3at-50在-1,1上恒成立,令g(t)=4 t2-3at-5,则解得-a,故选C.,3.函数y=x2-ln x的单调递减区间为. 答案(0,1 解析由题意知函数的定义域为(0,+),由y=x-0(x0),解得0x1, 所以函数的单调递减区间为(0,1.,4.已知f(x)=x3-ax在1,+)上是增函数,则a的最大值是. 答案3 解析f (x)=3x2-a,由题意知在1,+)上, f (x)0, 即a3x2, 又x1,+)时,3x23, a3,即a的最大值是3.,考点一利用导数判断或证明函数的单调性 典例1(2016课标全国,
4、21,12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.讨论f(x)的单调性. 解析f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). (i)设a0,则当x(-,1)时, f (x)0.所以f(x)在 (-,1)单调递减,在(1,+)单调递增. (ii)设a0,由f (x)=0得x=1或x=ln(-2a). 若a=-,则f (x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-,+)单调递增.,考点突破,若a-,则ln(-2a)0;当x (ln(-2a),1)时, f (x)0.所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.,
5、若a1,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时, f (x)0;当x(1, ln(-2a)时, f (x)0.所以f(x)在(-,1),(ln(-2a),+)单调递增,在(1,ln(-2a)单调递减.,方法技巧 用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 求f (x). 确定f (x)在(a,b)内的符号. 作出结论,依据是f (x)0时为增函数; f (x)0时为减函数. 提醒研究含参数的函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 1-1(2015重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-处取得极值. (1)确定a的值; (2)若g
6、(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.,解析(1)对f(x)求导得f (x)=3ax2+2x, 因为f(x)在x=-处取得极值,所以f =0, 即3a+2=-=0,解得a=. (2)由(1)得g(x)=ex, 故g(x)=ex+ex =ex=x(x+1)(x+4)ex. 令g(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4. 当x0,故g(x)为增函数; 当-10时,g(x)0,故g(x)为增函数. 综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.,考点一利用导数求函数的单调区间 典例2(2016天津,20,14分)设函数f(x)=x3-ax-b,
7、xR,其中a,bR.求f(x)的单调区间. 解析由f(x)=x3-ax-b,可得f (x)=3x2-a. 下面分两种情况讨论: (i)当a0时,有f (x)=3x2-a0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-, +). (ii)当a0时,令f (x)=0,解得x=,或x=-. 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为 ,.,方法技巧 利用导数求函数的单调区间的两个方法 方法一: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y=f (x); (3)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式f (x
8、)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 提醒写单调区间时,同增(减)区间不能用“”连接. 方法二: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y=f (x),令f (x)=0,解此方程,求出在定义域内的一切根;,(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)和上面所求的各根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间; (4)确定f (x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个区间内的单调性. 2-1已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求
9、a,b的值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.,解析(1)f (x)=2ax,g(x)=3x2+b. 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,所以f(1)= g(1),且f (1)=g(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3. (2)记h(x)=f(x)+g(x). 当a2=4b,即b=a2时, h(x)=x3+ax2+a2x+1, h(x)=3x2+2ax+a2. 令h(x)=0,得x1=-,x2=-. a0,h(x)与h(x)的情况如下:,函数h(x)的单调递增区间为和;单调递减区间 为.,考点三利用导数解决
10、函数单调性的应用问题 典例3(2017郑州二中月考)设函数f(x)=x3-x2+bx+c,曲线y=f(x)在点 (0, f(0)处的切线方程为y=1. (1)求b,c的值; (2)若a0,求函数f(x)的单调区间; (3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 解析(1)f (x)=x2-ax+b. 由题意得即 (2)由(1)得f (x)=x2-ax=x(x-a),结合a0知: 当x(-,0)时, f (x)0;,当x(0,a)时, f (x)0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(-,0),(a,+),单调递减区间为(0,a).
11、 (3)g(x)=x2-ax+2, 依题意,存在x(-2,-1), 使不等式g(x)=x2-ax+20成立, 即x(-2,-1)时,a=-2, 当且仅当x=,即x=-时等号成立. 所以满足要求的a的取值范围是(-,-2).,方法技巧 利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 (1)由可导函数f(x)在区间a,b上单调递增(减)可知f (x)0(f (x)0)在区间a,b上恒成立,进而列出不等式. (2)利用分离参数法求解恒成立问题. (3)对等号是否成立进行单独检验,检验参数的取值能否使f (x)在整个区间上(或该区间的子区间上)恒等于0,若f (x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在
12、个别点(有限点)处有f (x)=0,则参数可取这个值.,变式3-1在本例(3)中,若g(x)在(-2,-1)内为减函数,如何求解? 解析g(x)=x2-ax+2,且g(x)在(-2,-1)内为减函数,g(x)0,即x2-ax+20在(-2,-1)内恒成立, 即 解之得a-3.,3-2(2016德州模拟)函数f(x)=x3-x2+ax-5在区间-1,2上不单调,则实数 a的取值范围是() A.(-,-3B.(-3,1) C.1,+)D.(-,-31,+) 答案B因为f(x)=x3-x2+ax-5,所以f (x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1, 如果函数f(x)=x3-x2+ax-5在区间-1,2上单调, 那么a-10或解得a1或a-3, 于是满足条件的a(-3,1).,