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1、文数 课标版,第二节直线的交点与距离公式,1.两条直线的交点,教材研读,2.三种距离,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.() (2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.,() (3)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线 段AB的中点在直线l上.(),1.两条直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交点为() A.B. C.D. 答案B解方程组得 所以两直线的交点为.,2.原点到直线x+2y-5=0的距离为() A.1B. C.2D. 答案D由相应距离公式易
2、得d=.,3.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为() A.1B.C.D.2 答案B由题意可知l1与l2平行,故l1与l2之间的距离d= =,故选B.,4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=. 答案- 解析由 解得 将其代入x+by=0,得b=-.,5.已知坐标平面内两点A(x,-x)和B,那么这两点之间距离的最 小值是. 答案 解析由题意可得两点间的距离d= ,即最小值为.,考点一直线的交点 典例1(1)经过直线l1:x+y+1=0与直线l2:x-y+3=0的交点P,且与直线l3:2x-y+2=0垂直的直线l的
3、方程是 . (2)已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0,若它们不能围成三角形,则m的取值构成的集合是. 答案(1)x+2y=0(2) 解析(1)解法一:由方程组解得即点P(-2,1), 由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x+2), l3l,k=-, 直线l的方程为y-1=-(x+2),即x+2y=0.,考点突破,解法二:因为直线l过直线l1和l2的交点, 所以可设直线l的方程为x+y+1+(x-y+3)=0, 即(1+)x+(1-)y+1+3=0. 因为l与l3垂直, 所以2(1+)-(1-)=0,所以=-, 所以直线l的方程为
4、x+y=0,即x+2y=0. (2)由已知易知l2与l3相交,且交点为,若l1、l2、l3交于一 点,则易得m=-1或;若l1l2,则m=4;若l1l3,则m=-.综上可得,m=-1或 或4或-.,1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为点的坐标,即交点的坐标.,方法技巧,2.求过两直线交点的直线方程的方法 (1)求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程. (2)利用直线系方程求解.经过两相交直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y
5、+C2)=0(这个直线系不包括直线A2x+B2y+C2=0).,变式1-1若将本例(1)中的条件“垂直”改为“平行”,试求l的方程. 解析由方程组解得 即点P(-2,1). 设直线l的方程为y-1=k(x+2), 因为ll3,所以k=2,故直线l的方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.,1-2当00, 故直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在第二象限.,考点二距离问题 典例2(1)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为() A.B.C.D. (2)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,
6、在坐标平面内存在一点P,使 |PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则点P坐标为. 答案(1)C(2)(1,-4)或 解析(1)因为=,所以两直线平行, 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为. (2)设点P的坐标为(a,b),A(4,-3),B(2,-1), 线段AB的中点M的坐标为(3,-2), 而AB的斜率kAB=-1, 线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3, 即x-y-5=0. 点P(a,b)在直线x-y-5=0上, a-b-5=0. 又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2, =2,即4a+3b-2=10, 由联立可得
7、或 点P的坐标为(1,-4)或.,易错警示 (1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|; (2)在运用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中x,y的系数化为相等.,2-1已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是() A.B.C.8D.2 答案D=,m=8,直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0,两 平行线之间的距离d=2.,2-2已知P点坐标为(2,-1). (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程; (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,并求出最大距离; (3)是否存在过P点且与原点
8、距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. 解析(1)过P点的直线l与原点距离为2,又P点坐标为(2,-1),可见,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件, 此时l的斜率不存在,其方程为x=2. 若斜率存在,则设l的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y-2k-1=0. 则=2,解得k=. 此时l的方程为3x-4y-10=0. 综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0. (2)由题意可知过P点且与原点距离最大的直线l是过P点且与PO(O为坐标原点)垂直的直线,由lOP,得klkOP=-1, 所以kl=-=2. 由点斜式得直线l的方程为y+1=2(x-2),即2x-y
9、-5=0. 所以2x-y-5=0是过P点且与原点距离最大的直线的方程,最大距离为 =. (3)不存在.由(2)可知,过P点不存在与原点距离超过的直线,因此不存,在过P点且与原点距离为6的直线.,考点三对称问题 命题角度一点关于点的对称 典例3过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程. 解析设l1与l的交点为A(a,8-2a), 则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上, 将其代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0, 解得a=4,则A(4,0),又P(0,1), 所以由两点式可得直线l的方
10、程为x+4y-4=0.,典例4求点A(-1,-2)关于直线l:2x-3y+1=0的对称点A的坐标. 解析设A(x,y),则由已知得 解得A.,命题角度二点关于线的对称,典例5求直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程. 解析设P(x,y)为l上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y), 点P在直线l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0. 则直线l的方程为2x-3y-9=0.,命题角度三线关于点的对称,1.中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称:若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P
11、(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求解. (2)直线关于点的对称,主要求解方法如下: 在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程; 求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.,方法技巧,2.轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称: 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其 中B0,x1x2). (2)直线关于直线对称: 若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关于轴的对称点,然后用点斜式求解; 若
12、直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关,于轴的对称点,最后由两点式求解.,3-1一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求: (1)入射光线所在直线的方程; (2)这条光线从P到Q所经路线的长度. 解析(1)设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点,QQ交l于点M,kl=-1,kQQ=1, QQ所在直线的方程为y-1=1(x-1),即x-y=0. 由解得,交点M, 解得Q(-2,-2). 设入射光线与l交于点N,则P,N,Q三点共线, 又P(2,3),Q(-2,-2), 故入射光线所在直线的方程为=, 即5x-4y+2=0.,(2)|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ| =, 即这条光线从P到Q所经路线的长度为.,