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1、导数高考题1已知函数f （x）=x3+ax+，g（x）=lnx （i ）当 a 为何值时， x 轴为曲线 y=f （x）的切线；（ii ）用 min m ，n 表示 m ，n 中的最小值，设函数h（x）=min f（x） ，g（x）（x0） ，讨论 h（x）零点的个数解： （i ）f （ x）=3x2+a，设曲线 y=f （x）与 x 轴相切于点 P（x0，0） ，则 f （x0）=0，f （ x0）=0，解得，a=因此当a=时， x 轴为曲线y=f （x）的切线；（ii ）当 x（ 1，+）时， g（x）=lnx 0，函数 h（x）=min f（x） ，g（x） g（x） 0，故 h（x）在
2、 x（ 1，+）时无零点当x=1 时，若 a，则 f （1）=a+ 0，h（x）=min f（1） ，g（1）=g （1）=0，故 x=1 是函数 h（x）的一个零点；若 a，则 f （1） =a+ 0， h（x）=min f（1） ，g（1）=f （1） 0，故 x=1 不是函数h（x）的零点；当 x（ 0，1）时， g（x）=lnx 0，因此只考虑f （x）在（ 0，1）内的零点个数即可当 a 3 或 a0 时， f （x）=3x2+a在（ 0，1）内无零点，因此f （x）在区间（ 0，1）内单调，而 f （0）=，f（1）=a+，当 a3 时，函数 f （x）在区间（ 0，1）内有一个零
3、点，当 a0 时，函数f （x）在区间（ 0，1）内没有零点当 3 a0 时，函数 f （x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时， f（x）取得最小值=若0，即，则 f （x）在（ 0，1）内无零点若=0，即 a=，则 f （x）在（ 0，1）内有唯一零点若0，即，由 f （0）= ，f （1）=a+ ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 当时， f（x）在（ 0，1）内有两个零点当3a时， f （x）在（ 0
4、，1）内有一个零点综上可得：当或 a时， h（x）有一个零点；当 a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点2设函数f （ x）=emx+x2mx（1）证明： f （x）在（， 0）单调递减，在（0，+）单调递增；（2）若对于任意x1，x2 1，1 ，都有 |f （x1） f （x2）| e1，求 m的取值范围解： （1）证明： f （ x）=m （emx1）+2x若 m 0，则当 x（， 0）时， emx10，f （x） 0；当 x（ 0，+）时， emx10，f （ x） 0若 m 0，则当 x（， 0）时， emx10，f （x） 0；当 x（ 0，+）时， emx10，
5、f （ x） 0所以， f （ x）在（，0）时单调递减，在（0，+）单调递增（2）由（ 1）知，对任意的m ，f （x）在 1，0 单调递减，在 0 ，1 单调递增，故f （x）在 x=0 处取得最小值所以对于任意x1，x2 1，1 ，|f （x1） f（x2）| e1 的充要条件是即设函数 g（t ） =ett e+1，则 g（ t ）=et1当 t 0 时， g（ t ） 0；当 t 0 时，g（t ）0故 g（t）在（， 0）单调递减，在（0，+）单调递增又 g（1）=0， g（1）=e1+2e0，故当 t 1，1 时， g（t ） 0当 m 1，1 时，g（m ） 0，g（ m ）
6、0，即合式成立；当 m 1 时，由 g（t）的单调性， g（m ）0，即 emm e1当 m 1 时， g（ m ） 0，即 em+m e1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 综上， m的取值范围是 1，1 3函数 f（x）=ln （x+1）（a1） （）讨论f （x）的单调性；（）设a1=1，an+1=ln （an+1） ，证明：an解： （）函数f （x）的定义域为（1，+） ，f（ x）=，当 1a2 时，若
7、 x（ 1，a22a） ，则 f （x） 0，此时函数f （x）在（ 1，a22a）上是增函数，若 x（ a22a，0） ，则 f （ x） 0，此时函数f （x）在（ a22a，0）上是减函数，若 x（ 0，+） ，则 f （ x）0，此时函数f （x）在（ 0，+）上是增函数当 a=2 时， f （ x） 0，此时函数f （x）在（ 1，+）上是增函数，当 a2 时，若 x（ 1，0） ，则 f（ x）0，此时函数f （x）在（ 1，0）上是增函数，若 x（ 0，a22a） ，则 f （ x） 0，此时函数f （x）在（ 0，a22a）上是减函数，若 x（ a22a，+） ，则 f （ x
8、） 0，此时函数f （x）在（ a22a，+）上是增函数（）由（）知，当a=2 时，此时函数f （x）在（ 1，+）上是增函数，当 x（ 0，+）时， f （x）f （0）=0，即 ln （x+1）， （x0） ，又由（）知，当a=3 时， f （x）在（ 0，3）上是减函数，当 x（ 0，3）时， f （x） f （0）=0，ln （x+1），下面用数学归纳法进行证明an成立，当 n=1 时，由已知，故结论成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 -
9、 - - - - - - - - 假设当n=k 时结论成立，即，则当 n=k+1 时， an+1=ln （an+1） ln （），an+1=ln （an+1） ln （），即当 n=k+1 时，成立，综上由可知，对任何nN?结论都成立4已知函数f （x）=exex2x（）讨论f （x）的单调性；（）设g（x）=f （2x）4bf （x） ，当 x0 时，g（x）0，求 b 的最大值；（）已知1.4142 1.4143 ，估计 ln2 的近似值（精确到0.001 ） 解： （）由 f（ x）得 f （x）=ex+ex2，即 f （ x） 0，当且仅当ex=e x即 x=0 时，f （x）=0，函
10、数f （x）在 R上为增函数（） g（ x）=f （2x） 4bf （x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，则 g（ x）=2e2x+e2x2b（ex+ex）+（4b2） =2 （ex+ex）22b（ex+ex）+（4b4）=2（ex+ex2） （ex+e x+22b） ex+ex2， ex+e x+24，当 2b4，即 b2 时，g（ x） 0，当且仅当x=0 时取等号，从而 g（x）在 R上为增函数，而g（0）=0，x0 时， g（x） 0，符合题意当 b2 时，若 x 满足 2ex+ex2b2即，得，此时，g（x） 0，又由 g（0）=0 知，当时， g（x） 0，不符合题意
11、综合、知，b2，得 b 的最大值为2（） 1.4142 1.4143 ，根据（）中g（x）=e2xe 2x4b（exex）+（8b4）x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 为了凑配ln2 ，并利用的近似值，故将ln即代入 g（x）的解析式中，得当 b=2 时，由 g（x） 0，得，从而；令，得2，当时，由 g（x） 0，得，得所以 ln2 的近似值为0.693 5设函数f （ x）=aexlnx+，曲线 y=f
12、（x）在点（ 1，f （1） ）处得切线方程为y=e（x1）+2（）求a、b；（）证明： f （x） 1解： （）函数f （x）的定义域为（0，+） ，f （x）=+，由题意可得f （1）=2，f （ 1）=e，故 a=1，b=2；（）由（）知，f （x）=exlnx+，f （x） 1， exlnx+1， lnx ，f （x） 1 等价于 xlnx xex，设函数g（x）=xlnx ，则 g（ x）=1+lnx ，当 x（ 0，）时， g（ x） 0；当 x（，+）时， g（ x） 0故 g（x）在（ 0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，从而g（x）在（ 0，+）上的最小值为g（）=设函数
13、h（x）=xex，则 h（ x）=ex（1x） 当 x（ 0， 1）时， h（x） 0；当 x（ 1，+）时， h（ x） 0，故 h（x）在（ 0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 从而 h（x）在（ 0，+）上的最大值为h（1）=综上，当x0 时， g（x） h（x） ，即 f （x） 16已知函数f （x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线 y=f （
14、x）和曲线 y=g（x）都过点P（0，2） ，且在点P处有相同的切线y=4x+2（）求a，b，c，d 的值；（）若x 2 时， f （x）kg（x） ，求 k 的取值范围解： （）由题意知f （0）=2，g（0）=2，f （ 0）=4，g（ 0）=4，而 f （ x）=2x+a，g（ x）=ex（cx+d+c） ，故 b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而 a=4，b=2，c=2，d=2；（）由（ I ）知， f （x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1） ，设 F（x）=kg（x） f （x）=2kex（x+1） x24x2，则 F（ x）=2kex（x+2） 2x4=2（x+2）
15、 （kex1） ，由题设得F（0） 0，即 k1，令 F（ x）=0，得 x1=lnk ，x2=2，若 1ke2，则 2x10，从而当 x（ 2，x1）时， F（x） 0，当 x（ x1，+）时， F（ x） 0，即 F（x）在（ 2，x1）上减，在（ x1，+）上是增，故F（x）在 2，+）上的最小值为F（x1） ，而 F（x1） =x1（x1+2） 0，x2 时 F（x） 0，即 f （x） kg（x）恒成立若 k=e2，则 F（ x）=2e2（x+2） （exe2） ，从而当 x（ 2，+）时， F（ x） 0，即 F（x）在（ 2，+）上是增，而F（ 2）=0，故当 x 2 时， F（
16、x） 0，即 f （x） kg（x）恒成立若 ke2时， F（ x） 2e2（x+2） （exe2） ，而 F（ 2）=2ke2+20，所以当 x 2 时， f （x） kg（x）不恒成立，综上， k 的取值范围是 1 ，e2 7已知函数f （x）=exln （x+m ）（）设x=0 是 f （x）的极值点，求m ，并讨论 f （x）的单调性；（）当m 2 时，证明f （x） 0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -
17、（）解：，x=0 是 f （x）的极值点，解得 m=1 所以函数f （x）=exln （x+1） ，其定义域为（1，+） 设 g（x）=ex（x+1） 1，则 g（x）=ex（x+1）+ex0，所以 g（x）在（ 1，+）上为增函数，又 g（0）=0，所以当x0 时，g（x） 0，即 f（ x）0；当 1x0 时， g（x） 0，f （ x） 0所以 f （x）在（ 1， 0）上为减函数；在（0，+）上为增函数；（）证明：当m 2，x（ m ，+）时， ln （x+m）ln （x+2） ，故只需证明当m=2时 f （x） 0当 m=2时，函数在（ 2，+）上为增函数，且f （ 1） 0，f （
18、 0） 0故 f （ x）=0 在（ 2，+）上有唯一实数根x0，且 x0（ 1，0） 当 x（ 2， x0）时， f （ x） 0，当 x（ x0，+）时， f（ x） 0，从而当 x=x0时， f （x）取得最小值由 f （ x0）=0，得，ln （x0+2）=x0故 f （x）=0综上，当m 2 时， f （x） 08已知函数（I ）若 x0 时， f（x） 0，求的最小值；（II ）设数列 an的通项 an=1+解： （I ）由已知， f（0）=0，f （ x）=，f （ 0）=0 欲使 x0 时，f （x）0 恒成立，则f （x）在（ 0，+）上必为减函数，即在（0，+）上 f （
19、x）0 恒成立，当0 时， f （x）0 在（ 0，+）上恒成立，为增函数，故不合题意，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 若 0时，由 f （x）0 解得 x，则当 0 x，f （x）0，所以当 0 x时，f （x） 0，此时不合题意，若，则当 x0 时，f （ x）0 恒成立，此时f （x）在（ 0，+）上必为减函数，所以当x0 时， f （x）0 恒成立，综上，符合题意的的取值范围是，即的最小值为（ II）令
20、 = ，由（ I ）知，当 x0 时， f（x） 0，即取 x=，则于是 a2nan+=+=ln2n lnn=ln2 ，所以。9设函数f （ x）=ax+cosx ，x0 ， （）讨论f （x）的单调性；（）设f （x） 1+sinx ，求 a 的取值范围解： （）求导函数，可得f （x）=asinx ，x0 ， ，sinx 0 ，1 ；当 a0 时， f （x） 0 恒成立， f （x）单调递减；当a1 时， f （x） 0 恒成立， f （x）单调递增；当 0a1 时，由 f （x）=0得 x1=arcsina ，x2=arcsina 当 x0 ，x1 时， sinx a，f （x） 0，
21、f （x）单调递增当 xx1，x2 时，sinx a，f （x） 0，f （x）单调递减当 xx2， 时， sinx a，f （x） 0，f （x）单调递增；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - （）由f （x） 1+sinx 得 f （） 1，a 11，a令 g（x）=sinx （0 x） ，则 g（ x）=cosx 当 x时， g（ x）0，当时， g（ x） 0 ， g（x） 0，即（0 x） ，当 a时，有当
22、 0 x时，cosx1，所以 f （x）1+sinx ；当时，=1+1+sinx 综上， a10已知函数f （x）=+，曲线 y=f （x）在点（ 1，f （1） ）处的切线方程为x+2y3=0（）求a、b 的值；（）如果当x0，且 x1 时，f （x）+，求 k 的取值范围解：由题意f （1）=1，即切点坐标是（1，1） ，（）由于直线x+2y3=0 的斜率为，且过点（ 1，1） ，故，即解得 a=1，b=1（）由（）知，所以） 考虑函数（x0） ，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
23、 - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - （i ）设 k0，由知，当 x1 时， h（ x） 0而 h（1）=0，故当 x（ 0，1）时， h（ x）0，可得；当 x（ 1，+）时， h（x） 0，可得h（x） 0 从而当 x0，且 x1 时， f （x）（+） 0，即 f （x）+ （ii ）设 0k1由于当x（1，）时，（k1） （x2+1）+2x0，故 h（ x） 0，而h（1）=0，故当 x（ 1，）时， h（x）0，可得h（x） 0，与题设矛盾（iii）设 k 1此时 h（ x） 0，而 h（1）=0，故当 x（ 1，+）时， h（x） 0，可得h（
24、x） 0，与题设矛盾综合得，k 的取值范围为（，0 11设函数 f （x）=1ex（）证明：当x 1 时， f （x）；（）设当x0 时， f （x），求 a 的取值范围解： （1）当 x 1 时， f （x）当且仅当 ex1+x，令 g（x）=exx1，则 g （x）=ex1 当 x0 时 g （x） 0，g（x）在 0 ，+）是增函数当 x0 时 g （x） 0，g（x）在（， 0 是减函数于是 g（x）在 x=0 处达到最小值， 因而当 xR时，g（x）g（0）时，即 ex1+x，所以当 x 1 时，f（x）（2）由题意x0，此时 f （x） 0 当 a0 时，若 x，则0，f （x）不
25、成立；当 a0 时，令 h（x） =axf （x）+f （x） x，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - f （x）当且仅当h（x） 0 因为 f （x）=1ex，所以 h （x）=af （x）+axf （x）+f （x） 1=af （x） axf （x）+axf （x）（i ）当 0a时，由（ 1）知 x（ x+1）f （x）h （x） af （x） axf （x）+a（x+1）f （x）f （x）=（2a1）
26、f （x） 0，h（x）在 0 ，+）是减函数，h（x）h（0）=0，即 f （x）（ii ）当 a时，由（ i ）知 xf （x）h （x）=af （x） axf （x）+axf （x） af （x） axf （x）+af （x） f（x）=（2a1ax）f （x）当 0 x时， h （x）0，所以 h （x） 0，所以 h（x） h（0）=0，即 f （x）综上， a 的取值范围是 0 ， 12已知函数f （x）=（x+1）lnx x+1（）若xf （ x） x2+ax+1，求 a 的取值范围；（）证明：（x1）f （x）0解： （），xf （ x）=xlnx+1 ，题设 xf （ x）
27、x2+ax+1 等价于 lnx xa令 g（x）=lnx x，则，当 0 x1，g（ x） 0；当 x1 时， g（ x） 0，x=1 是 g（x）的最大值点， g（x） g（1）=1 综上， a 的取值范围是 1，+） （）由（）知，g（x） g（1）=1 即 lnx x+10当 0 x1 时， f （x）=（x+1）lnx x+1=xlnx+ （lnx x+1） 0；当 x1 时， f （x）=lnx+ （xlnx x+1）=0 所以（ x 1）f （x） 013设函数 f （x）=x2+aln （1+x）有两个极值点x1、x2，且 x1x2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
28、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - （）求a 的取值范围，并讨论f （x）的单调性；（）证明： f （x2）解： （I ），令 g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为由题意知x1、x2是方程 g（x）=0 的两个均大于1 的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当 x（ 1，x1）时， f （x） 0，f （x）在（ 1，x1）内为增函数；（2）当 x（ x1，x2）时， f （x）0，f （x）在（ x1，x2）内为减函数；（3）当 x（ x2，+）时， f
29、 （x） 0，f （x）在（ x2，+）内为增函数；（II ）由（ I ）g（0）=a0，a=（ 2x22+2x2）f （x2）=x22+aln （1+x2）=x22（ 2x22+2x2）ln （1+x2）设 h（x）=x2（ 2x2+2x）ln （1+x） ， （x0）则 h （x）=2x2（2x+1）ln （1+x） 2x=2（2x+1）ln （1+x）（1）当时， h （x）0， h（x）在单调递增；（2）当 x（ 0，+）时， h （x） 0，h（x）在（ 0，+）单调递减故14已知函数f （x）=（x3+3x2+ax+b）ex（1）如 a=b=3，求 f （x）的单调区间；（2）若
30、f（x）在（，） ， （2，）单调增加，在（，2） ， （， +）单调减少，证明：6解： （）当 a=b=3 时， f （x）=（x3+3x23x3）ex，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 故 f （ x）=（ x3+3x23x3）e x+（3x2+6x3）ex=ex（x39x）=x（x3） （x+3）ex 当 x 3 或 0 x3 时， f （x）0；当 3x0 或 x3 时， f （x） 0从而 f （x）
31、在（，3） ， （0，3）单调增加，在（3，0） ， （3，+）单调减少；（） f （ x）=（ x3+3x2+ax+b）ex+（3x2+6x+a）ex=exx3+（a6）x+ba 由条件得： f （ 2）=0，即 23+2（a6）+ba=0，故 b=4a，从而 f （ x） =exx3+（a6）x+42a 因为 f （） =f （） =0，所以 x3+（ a6）x+42a=（x2） （x）（x） =（x2） （x2（ +） x+）将右边展开，与左边比较系数得，+=2， =a2故 ，又（ 2） （ 2） 0，即 2（ +） +40由此可得a 6于是 6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -