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1、导数及其应用高考题精选1.（2 0 1 0 海南高考理科T 3）曲线y =_在 点 处 的 切 线 方x+2程 为（）（A）y =2 x+l （B）y =2 x-l （c）y=-2x-3 ）y=-2x-2【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选A.因为），=厂=，所以，在 点 处 的 切 线 斜（X+2）2率k=|=2 ,所以，切线方程为 y +l =2（x +l）,即 y =2 x+l,I （-1 +2）2故选A.2.（2 0 1 0 山东高考文科-T 8）已知某生产厂家的年利润
2、y （单位:万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为 =-$3 +8卜-2 3 4,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）（A）1 3万件（B）l l万件（C）9万件（D）7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选C,y，=x 2+8 1,令.=0得x =9或x =-9 （舍去），当x 9时歹 4（1）2 +2 e，+l Z7I7T 2 f z+2e*y ex当且仅当e x=-Lex即x =O 0 寸“=”成立。又 y 0,；.l y 0。设倾斜角为a,则-l W tan a
3、 0,又ae 0,n）,.,_ a 0)的图像在点包料2)处的切线与X轴的交点的横坐标为a ,其 中 及eN*,若a =1 6,则a+a+a的K十 1 1 1 D D值是_【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x 0)的图像在点(a k,a k2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由y =0,即可求得切线与x轴交点的横坐标。【规范解答】由y=x2(x 0)得，了 =2%,所以函数y=x2(x 0)在点(a k,a k2)处的切线方程为：=2(”一),当 y =0 时，解 得 x=?,所以 Q=葭,a+。+。=1
4、 6 +4 +1 =21.A+l 2 I 3 5【答 案】217.(20 1 0 江 苏 高 考 T 1 4)将 边 长 为 1m 正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记底笔瑞聚，则S的最小值是 O【命 题 立 意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。【思 路 点拨】可设剪成的小正三角形的边长为X,然 后 用 X 分别表示梯形的周长和面积，从 而 将 S用 x 表 示，利用函数的观点解决【规 范解答】设剪成的小正三角形的边长为X,C (3-幻2 4 (3-X)2,，、贝1 b2，(x+l 2 I)方 法 一：利用导数的方法求最小值。4 (3 7)2
5、 4 (2X-6).(1-%2)-(3-X)2.(-2X)3(X)=-，S(X)=-=-yj3 1-X 2 事(1 -冗 2)24 (2X-6)-(1-X2)-(3-X)2-(-2X)_ 4 -2(3 x-l)(x-3)事(1-X 2)2 一飞 一(1-X 2)25,(x)=0,0 x l,x=1,当 (0 时,S x)0;在区间(0,+00)上,/1(x)0.故X)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+8).1 一 人当 0 左 0f(x)=；-=2 k1 +X所以，在区间(-1,0)和(,+00)上，尸(x)0;在区间(0,)上，/1(%)1 时，.(x卜)n，得x=!-e
6、(-1,0),x=0.J(x)=-=。k 21 +x所以在区间(-1,上 和(0,+8)上,fx)0;在区间(匕,0)上，/,(x)0k k故/(X)得单调递增区间是(-1,匕6和(0,+8),单调递减区间是(1上,0)k k【方法技巧】(1)y=/(x)过(x,f(x)的切线方程为 y-/(x )=f(x)(x-x)o0 0 0 0 0(2)求单调区间时要在定义域内讨论尸(x)内的正负。11.(2010,安徽高考文科 T 2 0)设函数/(x)=sinx-cosx+x+l,0 x2n,求函数/G)的单调区间与极值。【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查
7、考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】对函数/)求导，分析导数r(x)的符号情况，从而确定了(x)的单调区间和极值。【规范解答】解：由f(x)=sinx-cosx+x+l,0X0,所 以“/（X）=三 工3+2 +c x+d在（-8,+8）内无极值点”等价于“r（x）=g+如+C 2 0在（-8,+8）内恒成立”。由（*）式得2Z?=9 5Q,C=4Q。又 =(20)2-4ac=9(a-1 )3-9)解卜 得。/1,9A=9(a-l)(a-9)0即”的取值范围1,9【方法技巧】（1）当尸在x的左侧为正，右侧为负时，x为极大0 0值点；当尸（X）在X的左侧为负，右侧为正
8、时，X为极小值点0 0（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。y =a x 2+x +c怛大于 0,则 ;y =o x?+x +c怛小于 0,则；A 0 A l n 2-l且x0时，ex x2-2ax+1。【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】先分析/（X）的导数广（X）的符号情况，从而确定/（X）的单调区间和极值；g（x）=ex-x2+2ax-l,把问题转化为：求证：当a l n 2-l且x0时，g(x)0。【规范解答】(1)Q f(x)=ex-2x+2a
9、,:.f,(x)=e-2令尸(x)=0,得x =l n 2./(x)在J o,In 2)上单调递减，在(l n 2,+8)上单调递增；X(-c o,In 2)In 2(i n 2,4-o o)f(x)0+极小值Z当x =l n 2时，/5)取得极小值为2-21n 2+2a(2)设g(x)=e x-X 2+2o x-l ,.1.=ex-2x+2a=f(x)由(1)问可知，g (x)2 2-21n 2+2a恒成立，当a l n 2-l时，则g (x)0恒成立,所以g(x)在R上单调递增,所以当 x 0 时，g(x)g(0)=0,即当a l n 2-l且x 0时，ex x2-2ax+1。【方法技巧】
10、1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行；2、证明函数不等式问题，如证x)/(x),通常令g(x)=x)-/(x),1 2 I 2转化为证明：g(x)0。14.(20 10 天津高考文科-T2 0)已知函数 f(X)=4 X 3-3 x 2 +l(x e A),2其中a 0.(I )若a=l,求曲线y=f (x)在 点(2,f (2)处的切线方程；(I I)若在区间-上，f(X)0恒成立，求a的取值范围._ 2 2.【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。【思路点拨】应用导数知识
11、求解曲线的切线方程及函数最值。【规范解答】(I)当 a=l 时，f(x)=x 3 3x 2+1,f (2)=3；f (x)=3x 2 3x,2)=6.2所以曲线y=f (x)在 点(2,f (2)处的切线方程为y-3=6(x-2),即 y=6x-9.(II)f (X)=3a x 2-3x =3x(a x-1).令 f (X)=O,解得 X=0 或 X=La以下分两种情况讨论：解不等式组得-5a 5.因此0 a W 2.若 0 0等价于后)。，.5-a8山0.8若 a 2,则。o._ o,当X W -1,1 时，f(x)0等价于-即8if(-)0,1-0.1 a2a2解不等式组得走“5或a(-立.因此2a5.2 2综 合(1)和(2),可知a 的取值范围为0a5.