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1、导数高考题1.己知凶数f（川、g(x)=-l nx(i）当a为何ffi.肘，x轴为曲线y=f(x）的切线：(ii）用minm,n 表示田，n中的最小值，设函数hCx)=mi n f Cx),g(x)(xO），讨论h(x）零点的个数解：“）f(x)=3x+a，设幽线y=f(x）与x轴相切干点P(xo,O），则f(xo)=O,f 丑。）=O,3 1 x+:ax寸乞O1 0 0,1 h F+RJnHUW va。、u1 3 3 解得xn=-a=-.肉此均a时，x制为曲线y=f(x）的切线：u2 4 4(ii）当xE(1,too）时，g(x)=-lnxO,.函数hCx)=mi n f Cx),g(x)g
2、(x)O,故h(x）在xE(1，叫时无零点问时，h注：，贝忖（1）斗剖，.h(x=min f(1),g(1)=g(1)=O，故x=l是凶数h(x）的一个零点：若a-1，则f(1）斗O,.h(x）可in f(1),g(1)=f(1)O，网此只考虑f(x):(:E(0,1）内的零点个数即口，J.当a罢王，3或aO时，f(x3x地在（0,1）内无零点，因此f(x）在区间（O,1）内单调，而f(O），f(1)=a二，肖峰3肘，函数f(x）在区间（0,1）内有一个零点，4-当aO时，函数f(x）在区间（O,1）内没有零点岳阳O时，函数f（叫（0,后）内单阳，在（存，1）阳递增，也巨时，f(x）取得制、值
3、f（旦）_2a二旦l.V 3 3V 3 4 盯仔）O,lI.P 忡。，则f叫低1）内肌I-11 3 轩fCI一）=O,ll.1 a=一，贝ljf(x）在（0,1）内有唯一零点V 3 4 川cfi)O,l!P-3叶，由f(O）古，f(1)斗当2a.-J时，fCx).:tE(0,1）内街两个零点当3a-1或a时，h(x）有一个零点：3 5 当a=-4或4时，hCx）街两个零点：当a-1肘，函数h(x有个零点2.i发函数f(x)=e飞x-mx.(1）证明：f(x）在（oo,O）单调递减，在（0,too）单调i差柏：(2）和对于任意Xi,Xi1,l，都有Ifx,)-f X:)I延e-1，求m的取值范国
4、解：（1)i.证明：f(x)=m(e-I)+2x.若mO，贝。当xE(-oo,O）时，e眶lO.f(x)O.右m0,f(x)O：当x（0,+00）肘，e=-1 o.所以，f(x）在（，。时单调递减，在（0,+oo）单调递增(2）由（1）知，对任意的m,f(x）在-1,O单调边减，在O,l单i周边地，故f(x):tE x=O处取得最小值(f(1)-f(0)e-1 1,If(x,)-f(X:)I主运e寸的充要条件是f(-1)-f(o)e-1 所以对于任意XuX：巳-1,俨11反r1 即二e+e-1 设函数g(t)=e-t-e+l，则g(t)=e-1.当tO时，g(t)O时，g(to.故g(t）在（
5、oo,O）单调递减，在（O,+oo）单调i撞地又g(1)=O,g(-1)=e 1+2-el时，闹革（t）的单调性，g(m)O,llP e-m e-1.当mO，即e+me-1.综上，m的取值范剧足-1,1)3.函数f(x)=ln(x+l)-主（al).x-ta I）讨论f(x）的单调性：(IJ）设a,=1,a.-,=ln(a.+l),2 3 证明一一a.：王一一ri.l Z L I Z 解：I）函数f(x）的定义域为（1,+oo),x-(a2-2a)f(x)-,（工1)(:.:+a当laO，此时函数f(x）在（-1,a-2a）上是增函数，右xECa-2a,O），则f(x)O，此时函数f(x）在（
6、0,+oo）上是：咱函数当a=2时，f(x)O，此时函数f(x）在（-1,+oo）上是地函数，王与a2时，若x（-1,O），！IJf (x)O，此时函数f(x）在（-1,O)七是增函数，t,xE(0,a-2a），贝1f(x)O，此时函数f(x）在（0,a-2a）上是减函数，右xE(a-2a,+oo），则fU0，此时函数f(x）在（a-2a,+00）上是地函数 f(O)=O,即ln(x+l三五，（xO),:i:+2 又向（知，当a=3时，f(x）在（O.3）上是减凶数，当xE(0,3）时，f(x)f(0)=O,ln(x+l)二玉，x+3 干而用数学归纳法进行证明-2.a.延_l_成立，n+2 n
7、+2 当n=l时，自己知1 a l=1，攸结论成立假设兰奇n=k时结论成立，l!P_Lln c.1.+1)k+2 52耐2-k+3 也.，ln(a.+1)ln.1.+1)k+Z 3 k+2 3 3-k+3-+3 k+2 即当n=k+l时，_La,.，一旦成立，k+3 ll+l k+3 综上由可知，对任何nEN.结论都成立4.己知凶数f(x)=e -e -2x.O时，g(x0，求b的最大直：HJ）己知l.4142./2 1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001).解：I）由f(x）如（x)=e+e -2材工；x-2=0,en f(x)兰o，当l且仅当占星enx=O肘，f(x)=O,：.
8、函数f(x）在R上为娟的数 II)g x)=f 2x)-4bf 4,：.当2b4，即b2时，g(x)兰o，当且仅当x=O时l板等号，从而g(x）在R上为地函数，而g(O)=O,.xO 时，g(x)O，符合题意当b2肘，-:nx满足2e+e=2b-2 自p2 ei,;+e吁，;，得oxln(b-1飞lb2-2b），此时，geis+e x2b-2 (x)O，又应Ig(O）叫，主，oxln(b-1忑亡2bl时，g(x)O，不符合题患综合、知，b运2，得b的棋大值为2.（囚）:1.4142V2O，何g（叫）号4/2仙例，也f气S1.4142-3 从而ln2工主土一一”。.6928:12 12 令ln(
9、b-1亡瓦ln-J2，件b：，.亚l月，当ox 1 n(b-1+1 t 2-2b）时，v“4 呻_ 3 181巧t8+1 4143 由g(x)1.-；主;r_b 芷，b i-1 解：I）函数f(x）的定义域为（0,too),f(x)-ae lnK+e-;:;e e,由题，在可得f(1=2,f(1）习，故a=l,b=2:1,.e慕lnx+.,.x-ll,.lnx.l.立，工e11 xe x x二芷2:.f(x1等价于xlnxxe-，设函数g(x)=xlnx，则s(x)=l+lnx,e 1 人当xE(0，一时，g(x)O.e e 故事（x）在（O,l）止单调递减，在cl,too）上单调遥梢，从而g
10、(x）在（O,too）上的最小值为gcl =-e e e l.设函数h(x)=xe2，则h(x=e (1-x).e e 当xE(0,1）肘，h（x0：当xE(1,too）肘，hCx)O时，g(x)h(x），即f(x1.6.己知凶数f(x)矿ax+b,g(x)=e(cx+d）籽曲线y=f(x）和曲线y=g(x）都过点p(0，剖，且在点F处有相同的切线y=4x+2.I）求a,b，。d的伯：(II）轩x法2时，f(x）kg(x），求k的取值范刽解：I）由Im意知f(O)=2,g(O)=2,f(O）斗，正(O）司，而f(x)=2x恼，g(x）弓（cx+d,c），故b=2,d=2,a=4,d+c=4，从
11、而a斗，b=2,c=2，在2:II）由（I）知，f(x)=x-+4x+2,g(x)=2ex(x+l），设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(1,.-+l)-x 缸，2,则F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x2)(ke:-l),由Im设得f(O)O.即k二月，令F（x)=0,11.x,=-lnk,x会-2,和l延k矿，则2x，运0，从而当x（-2,x，）时，F(x)o.!PF(x）在（-2,x，）上减，在（xi,+oo)I:趋增，故f(x）在-2,+oo上的核小值为F(x,),而F(x,)=-x,(x,+2)O.x-2时F(x)O,nr f(x)kg(x）恒成立(;r,:k矿，则
12、F(x)=2e(x+2)(e:-e），从而当x（-2,+oo）肘，F(x0,l!P F(x）在（2,+oo）上是增，而F(-2)=O,夜空斗x-2时，F(x)兰O，即f(x)kg(x）恒成立若ke时，F（x)2e(x+2)（正e.)而F(-2)=-21恒、2-2时，f(x)kg(x）不恒成立，综上，k的取值范回是l,e.7.己知函数f(x)=e:-ln h地(I）设x=O是f(x）的极值点，求m，并讨论f(x）的单调性：O.O，所以g(x）在（-1，上为增函数，又：g(O)=O，所以当xO时，g(x0，即f(x0：当lxO时，g(x)O,f(x)0.当m=2时，函数f,(x)=eii:_ _.
13、1_在（-2,+oo）上为增函数，且f(-1)o.x+2 故f(x)。在（-2,+oo）上有唯一实数根x。，且xoE(-1,O).当x（-2,xo）时，f（x)O,从而当x=xo肘，f(x）取得缺小值，由f（xo)=O,1币u得ln（丑。2):;:-Xo.放f(x）f(x,.）二一xn=“u xa+2 幽 u(R,.tl)2 o.x0+2 综上，当m运2时，f(xo.x(1x8.己知函数f(ii:)=ln(1川一一一一一一1芷(I）若x法0时，f（刘延0，求的最小值：1 1 1口(II）设数列a，的通项a.=l，证明：a -21一ln2.2 3 nn4n 解：（I）自己知，f(O）坤，f(x)
14、=-1一 l+x(1+2：；：）(l+x)-:;:(lx)(l+x)2(1-2）i,;x2 句，)E+电EA(,:.f(O)=O欲使xO时，f(x）运0恒成立，贝ljf(x）在（0,+oo）上必为减函数，即在（0,+oo）上f(x)O解得x，则当问一，f1-2(x0，所以当0O，此时不合Qfil.扣哇，贝胁O时，f(x)O时，f(x)/、AH凡此间忻州出值取的、八的意越A门符立成上恒综l!P的最小伯为i（令击，昆I(I）知，当0时，fCx)ln(1+:)于11.1.土J是a,-a,一一T-TT 一-.4n n+l n+2 2n 4n L一_L一！一2(n+l)2(n+l)2(n+2)2(n+2
15、)1 1 1 二一一一一4口4n4n 1 1 1 一2(n+2）了2(n+3)2(2n-1)2(2n-1)1 气二1 1 1 1 亏百T了穹市才可币2)主l（！一）主1旦k=n 2k 2(k+l)k=n 2n-1 艺ln（毕）=ln2n-lnn=l此k=n n 所以，-,I卡土In2-Ln-n LI .r,in 9.设函数f(x)=ax+cosx,xE(0,n.I）讨论f(x的单调性：(II）设f(x）运l+sinx，求a的取也范卦解：I）求导函数，uJ得f（x)=a-sinx,xEO,n,sinxEO,1:当a运0肘，f（x）运0恒成立，f(x）单调递减：当al时，f（x）注0恒成立，f(x
16、）单调递增；当Oal时，由f（x)=O得x,=arcsina,x:=11-arcsina 当xEO,xJ时，sinx O,f(x）单调递地当xx.,X:肘，sinxa,f(x)O,f(x）单调递减当xEx:,n时，sinx0,f(x）单调远地：门I）由f(x）白山得f(n）白，a n-1白，d去令g(x)=sin.x 寺x(Ox：号，贝1)g1(x)去当xECo，缸cc叶）肘，g（x0，当xEC町cc叶，号）时，g(x)O g(O)=g（号）鸣.g(x）坷，当a-k时，有f(x)去工cosx，2 当Ox：一时，.：sin宜，c。sxl，所以f(x)l+sinx:2 句：xn毗f(x）咛巾sx=
17、l去（x号）-sin(x号）运l+sinx吟也inx(0运x斗），综上，a-k-alnx b 10.己知函数f(x)一一，曲线y=f(x）在点（1,f(1处的切线方程为x+2y-3=0.x+1:.:O，且x笋1时，lnx k f(x一一一一，工1x 求k的取位范倒解：由题j意f 1)=1,en t刀：王坐标是（1.1),a（王旦lnx)I)f(x)=x(x+l)O），则h（芷）x(k-1)(x2+1)+2x:i:(i）设k0，由h码，也-E、EF噜牛ndva-俨，也、=、rva(x-1)2 知，当x手1时，h（x)O.而h(1)=O，故当xE(O,1）时，h（x)o:1-x 当xe(1,十时，
18、h(x)O1-:i:从而当xO，且x笋1时，f(x)l nx k 一）O,x-1芷ln工k即f(x)一x-1 x 1(ii）设OkO，故hCx)O，而1-k h(1O，极，xe(1._l一时1-k h Cxo.1:1J得一土：hCx)O，而h(1)=O，故当xE(1,+oo）肘，h(x0,与题设矛屑综fi衍，k的取值范围为（-oo O.11.设函数fCx)=l-e气C I证明：当x-1时，fCx)_:x+l 门J）设当x二呈o肘，f(x）运.！.，求a的取值范国a x+l 口 J得_L士h(x)-1时，fCx）去i.当且仪当e亨l句，令g(x)=e-x-1，则zCx)=e-1 x+l 当xO时
19、g（x)注o.g(x).:(:(0,+oo）是1曾函数当x运0时g（x）罢王O,g(x）在（-oo O是减函数于是g(x）在x=O处达到最小值，因而当xR肘，g(x)g(O）时，ene 1+x，所以当x-l时，f(x).2.x+l(2）由mi边txO，此时f(x泣。当a_！，则一O,ZI zixt 1 f(x）罢王王一不成立：出l当aO时，令h(x=axfCx)+f Cx)-x，则f(x）骂王一王一当且仅当h(x)o zix+1 因为fCx)=1-e气所以h（x)=af Cx)+axf(x+f(x)-l=af(x)-axf(x)+ax-f(x)(i）以a斗时由（1）知五运（x+l)f Cx)h
20、Cx）af Cx)-axf(x)+a(x+l)f(x)-f Cx)=(2a1)f(x)O,h(x）在O,+oo）是诚函数，h(x）运h(O)=O,自p fCx）运一王ax+l(ii）如i时，由Ci）知占f(x)h(x)=af(x)-axf(x)+ax-f(x)af(x)-axf(x)+af(x)-f(x)=(2a-l 皿）f(x)2a-1 当O h(O)=O，即f(x王一a a:.:+1 综上，a的取值范囚足协112.己知函数f(x)=（时1)l nx-x+l.C I:rfxf(x）运x=+ax村，求a的取自范围：(II）证明：（x-1)f Cx）法0.解：I)f (x)王土！l nx-l=l
21、nx+l,xf(x)=xlnx+l，题设xf(x）忌、川等价于lnx-xa.x x 1 令g(x)=lnx-x，贝ljg I(x)一1当Oxl,g（x0：当x;,:1 II中，正（x)o.x=l是g(x）的x 放大直点，g(x）运g(1)=-1综上，a的取值范l直是1,+(X).11）向（I）知，g(x)g(1)=-1即lnx-x10.当Oxl时，f(x)=（沪1)lnx-x+l=xlnx+(lnx-x+l)-1)令gO其ff.薯条件为，衔。a.:.I g o(1）当x（-1,x，）时，f（x)o,:.f(x)tE(-1,x，）内为纳函数：(2）当xECx.x，）时，f（x)O,:.-.,.O
22、,a=-(2x:+2x:)2“=:.f(x:)=x:+aln(l+x:)=x,:-(2x:+2x:)ln(l+x:)设h(x)=x时2x)ln（叫（-1xO,h(x）在1，。）单调递增：C(2）当xE(0,+oo）时，h（x)h(-1)二1且1-2In2 故f(x2)=h(x2)一一一一14.己知函数f(x)=(x+3x:+ax+b)e (1）如a=b=-3,;f(x）的单调区fuJ:(2）和f(x）在（，。）(2，。）单调增加，在（a,2),（白，单调减少，证明：ti-a 6.解：（I)a=b=-3肘，f(x)=(x+3矿3x-3)e,故f（x)=-(x+3x-3x-3)e=+(3x+6x-
23、3)e:=-e.,(x-9x)=-x(x-3)(x+3)e=t乌x-3或Ox3肘，f（x0:当，3芷O或芷3时，f（x)O.从而f(x）在（-oo,-3),(O,3）单调地加，在（-3,0),(3,+00）单调减少：(IIf(x)=-(x3+3x+ax也）e+(3x+6x+a)e=-e x+(a-6)x+b-a.由条件得：f(2)=O，即2+2(a-6)b-a=O，故b=4-a,从而f(x)=-e x(a-6)x+4-2a.因为f（臼）吨（自）吨，所以x+(a-6)x叫2a=(x-2)(x-a)(x-J3)=(x-2)（矿(a自）x+a J3).将右边展开，与左边比较系数得，自2，自弓2.们a=1(吕+a)2-4 a 吕.百习言，又（自2)（2)O，目laJ3-2（自）+40.由此时得a-6.于是自。6.