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1、.-优选导数高考题1函数 fx=x3+ax+，gx=lnx i当a为何值时，x 轴为曲线y=fx的切线；ii用 min m，n 表示 m，n 中的最小值，设函数hx=min fx，gxx0，讨论 h x零点的个数解：i f x=3x2+a，设曲线y=fx与 x 轴相切于点Px0，0，那么 fx0=0，f x0=0，解得，a=因此当 a=时，x 轴为曲线y=f x的切线；ii当 x 1，+时，gx=lnx0，函数 hx=min fx，gxgx 0，故 h x在 x 1，+时无零点当x=1 时，假设a，那么 f1=a+0，hx=min f 1，g1=g1=0，故 x=1 是函数 hx的一个零点；假
2、设 a，那么 f1=a+0，hx=min f1，g1=f1 0，故 x=1 不是函数h x的零点；当 x 0，1时，gx=lnx0，因此只考虑fx在 0，1的零点个数即可当 a 3 或 a0 时，f x=3x2+a在 0，1无零点，因此fx在区间 0，1单调，而 f0=，f1=a+，当 a 3 时，函数 fx在区间 0，1有一个零点，当 a0 时，函数fx在区间 0，1没有零点当 3a0 时，函数fx在单调递减，在单调递增，故当x=时，fx取得最小值=假设0，即，那么 fx在 0，1无零点假设=0，即 a=，那么 fx在 0，1有唯一零点假设0，即，由 f0=，f 1=a+，当时，fx在 0，
3、1有两个零点当3 a时，fx在 0，1有一个零点综上可得：当或 a时，hx有一个零点；当 a=或时，h x有两个零点；当时，函数hx有三个零点2设函数fx=emx+x2mx1证明：fx在，0单调递减，在0，+单调递增；2假设对于任意x1，x21，1，都有|fx1 fx2|e1，求 m 的取值围.-优选解：1证明：f x=memx1+2x假设 m0，那么当 x，0时，emx10，f x 0；当 x 0，+时，emx10，f x 0假设 m0，那么当 x，0时，emx10，f x 0；当 x 0，+时，emx10，f x 0所以，fx在，0时单调递减，在0，+单调递增2由 1知，对任意的m，fx在
4、 1，0单调递减，在0，1单调递增，故f x在 x=0 处取得最小值所以对于任意x1，x21，1，|f x1 fx2|e1 的充要条件是即设函数 gt=ette+1，那么 g t=et1当 t0 时，g t 0；当 t0 时，g t 0故 gt在，0单调递减，在0，+单调递增又 g 1=0，g 1=e1+2e0，故当 t1，1时，gt 0当 m1，1时，gm 0，g m 0，即合式成立；当 m1 时，由 gt的单调性，gm 0，即 em m e1当 m 1 时，g m 0，即 em+me1综上，m 的取值围是 1，1 3函数 fx=lnx+1 a1 讨论fx的单调性；设a1=1，an+1=ln
5、an+1，证明：an解：函数f x的定义域为1，+，f x=，当 1a2 时，假设x 1，a22a，那么 f x 0，此时函数f x在 1，a22a上是增函数，假设 x a22a，0，那么 f x 0，此时函数fx在 a22a，0上是减函数，假设 x 0，+，那么 f x 0，此时函数fx在 0，+上是增函数当 a=2 时，f x 0，此时函数fx在 1，+上是增函数，当 a 2 时，假设 x 1，0，那么 f x 0，此时函数fx在 1，0上是增函数，假设 x 0，a22a，那么 f x 0，此时函数fx在 0，a22a上是减函数，假设 x a22a，+，那么 f x 0，此时函数fx在 a
6、22a，+上是增函数由知，当a=2 时，此时函数fx在 1，+上是增函数，当 x 0，+时，fx f0=0，即 lnx+1，x0，又由知，当a=3时，f x在 0，3上是减函数，.-优选当 x 0，3时，fx f0=0，lnx+1，下面用数学归纳法进展证明an成立，当 n=1 时，由，故结论成立假设当n=k 时结论成立，即，那么当 n=k+1 时，an+1=lnan+1 ln，an+1=lnan+1 ln，即当 n=k+1 时，成立，综上由可知，对任何nN?结论都成立4函数 fx=exex2x讨论fx的单调性；设gx=f2x 4bfx，当 x0 时，gx 0，求 b 的最大值；1.41421.
7、4143，估计 ln2 的近似值准确到0.001 解：由 fx得 f x=ex+ex 2，即 fx0，当且仅当ex=ex即 x=0 时，fx=0，函数 fx在 R 上为增函数 gx=f2x 4bfx=e2xe2x4bexex+8b 4x，那么 g x=2e2x+e2x2bex+ex+4b2=2ex+e x2 2bex+ex+4b4=2ex+ex2 ex+ex+22b ex+ex 2，ex+e x+24，当 2b4，即 b2 时，g x 0，当且仅当x=0 时取等号，从而 gx在 R 上为增函数，而g0=0，x 0 时，gx 0，符合题意当 b2 时，假设 x 满足 2ex+ex2b2 即，得，
8、此时，g x 0，又由 g0=0知，当时，gx 0，不符合题意综合、知，b2，得 b 的最大值为2 1.41421.4143，根据中gx=e2xe2x 4bexex+8b4x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入 gx的解析式中，得.-优选当 b=2 时，由 gx 0，得，从而；令，得2，当时，由 g x 0，得，得所以 ln2 的近似值为0.6935设函数fx=aexlnx+，曲线 y=fx在点 1，f1 处得切线方程为y=ex1+2求a、b；证明：fx 1解：函数f x的定义域为0，+，f x=+，由题意可得f1=2，f 1=e，故 a=1，b=2；由知，fx=exlnx+，fx
9、 1，exlnx+1，lnx，fx 1 等价于 xlnxxex，设函数gx=xlnx，那么 g x=1+lnx，当 x 0，时，g x 0；当 x，+时，g x 0故 gx在0，上单调递减，在，+上单调递增，从而 g x在0，+上的最小值为g=设函数 hx=xex，那么 h x=e x1x 当 x 0，1时，h x 0；当 x 1，+时，h x 0，故 h x在 0，1上单调递增，在1，+上单调递减，从而 hx在 0，+上的最大值为h1=综上，当x0 时，gx hx，即 fx 16函数 fx=x2+ax+b，gx=excx+d假设曲线y=fx和曲线y=gx都过点P0，2，且在点P处有一样的切线
10、y=4x+2求a，b，c，d 的值；假设x 2 时，fx kgx，求 k的取值围解：由题意知f0=2，g0=2，f 0=4，g 0=4，而 f x=2x+a，g x=excx+d+c，故 b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而 a=4，b=2，c=2，d=2；由 I知，fx=x2+4x+2，gx=2exx+1，设 Fx=kgx fx=2kexx+1 x24x2，那么 F x=2kexx+2 2x4=2x+2 kex1，由题设得F0 0，即 k1，.-优选令 F x=0，得 x1=lnk，x2=2，假设 1ke2，那么 2 x1 0，从而当x 2，x1时，F x 0，当 x x1，+时，F x
11、 0，即 Fx在 2，x1上减，在 x1，+上是增，故Fx在 2，+上的最小值为Fx1，而 Fx1=x1x1+2 0，x 2 时 Fx 0，即 fx kgx恒成立假设 k=e2，那么 F x=2e2x+2 exe 2，从而当 x 2，+时，F x 0，即 Fx在 2，+上是增，而F 2=0，故当 x 2 时，F x 0，即 f x kg x恒成立假设 ke2时，F x 2e2x+2 exe2，而 F 2=2ke2+20，所以当x 2 时，fx kgx不恒成立，综上，k 的取值围是 1，e27函数 fx=exlnx+m设x=0 是 fx的极值点，求m，并讨论 fx的单调性；当m2 时，证明fx
12、0解：，x=0 是 f x的极值点，解得 m=1所以函数fx=exlnx+1，其定义域为1，+设 g x=exx+1 1，那么 g x=exx+1+ex0，所以 gx在 1，+上为增函数，又 g0=0，所以当x0 时，gx 0，即 f x 0；当 1x0 时，gx 0，f x 0所以 fx在 1，0上为减函数；在0，+上为增函数；证明：当m2，x m，+时，ln x+m lnx+2，故只需证明当m=2 时 f x 0当 m=2 时，函数在 2，+上为增函数，且f 1 0，f 0 0故 f x=0 在 2，+上有唯一实数根x0，且 x0 1，0 当 x 2，x0时，f x 0，当 x x0，+时
13、，f x 0，从而当 x=x0时，fx取得最小值由 f x0=0，得，lnx0+2=x0故 fx=0综上，当m2 时，fx 08函数I假设 x0 时，fx 0，求的最小值；II设数列 an的通项 an=1+.-优选解：I由，f 0=0，f x=，f 0=0欲使 x0 时，fx 0 恒成立，那么fx在 0，+上必为减函数，即在0，+上 f x0 恒成立，当0 时，f x 0 在 0，+上恒成立，为增函数，故不合题意，假设 0时，由 f x 0 解得 x，那么当0 x，f x0，所以当0 x时，fx 0，此时不合题意，假设，那么当 x0 时，f x 0 恒成立，此时fx在 0，+上必为减函数，所以
14、当x0 时，fx0 恒成立，综上，符合题意的的取值围是，即的最小值为 II令=，由 I知，当x0 时，fx 0，即取 x=，那么于是 a2nan+=+=ln2nlnn=ln2，所以。9设函数fx=ax+cosx，x0，讨论fx的单调性；设fx 1+sinx，求 a 的取值围解：求导函数，可得f x=a sinx，x0，sinx0，1；当 a0 时，fx 0 恒成立，fx单调递减；当a 1 时，fx 0恒成立，fx单调递增；当 0 a1 时，由 f x=0 得 x1=arcsina，x2=arcsina 当 x0，x1时，sinxa，fx 0，fx单调递增当 xx1，x2时，sinxa，fx 0
15、，fx单调递减当 xx2，时，sinxa，fx 0，fx单调递增；由fx 1+sinx 得 f 1，a 11，a令 g x=sinx0 x，那么 g x=cosx当 x时，g x 0，当时，g x 0.-优选，gx 0，即0 x，当 a时，有当 0 x时，cosx1，所以 fx 1+sinx；当时，=1+1+sinx 综上，a10函数 fx=+，曲线 y=fx在点 1，f1 处的切线方程为x+2y 3=0求a、b 的值；如果当x0，且 x1 时，f x+，求 k 的取值围解：由题意f1=1，即切点坐标是1，1，由于直线x+2y 3=0 的斜率为，且过点 1，1，故，即解得 a=1，b=1由知，
16、所以 考虑函数x0，那么i设 k0，由知，当 x1 时，h x 0而 h 1=0，故当 x 0，1时，h x 0，可得；当 x 1，+时，h x 0，可得hx 0 从而当 x0，且 x 1时，fx+0，即 fx+ii设 0k1由于当 x 1，时，k1 x2+1+2x 0，故 h x 0，而h1=0，故当 x 1，时，hx 0，可得hx 0，与题设矛盾.-优选iii设 k 1此时 h x 0，而 h1=0，故当 x 1，+时，hx 0，可得h x 0，与题设矛盾综合得，k 的取值围为，011设函数 fx=1ex证明：当x 1 时，fx；设当x0 时，fx，求 a 的取值围解：1当 x 1 时，f
17、x当且仅当ex1+x，令 g x=exx1，那么 gx=ex1 当 x0 时 gx 0，gx在 0，+是增函数当 x0 时 gx 0，gx在，0是减函数于是 g x在 x=0 处到达最小值，因而当xR 时，gx g0时，即 ex1+x，所以当 x 1 时，fx2由题意x 0，此时 fx 0 当 a0 时，假设x，那么0，fx不成立；当 a0 时，令 hx=axfx+fx x，那么fx当且仅当hx 0 因为 fx=1e x，所以 h x=afx+axfx+fx 1=af x axfx+axfxi当 0a时，由 1知 x x+1fxhx afx axfx+ax+1f x fx=2a1f x 0，h
18、x在 0，+是减函数，hx h0=0，即 fxii当 a时，由 i知 xfxhx=af x axfx+axfx afx axfx+afx fx=2a1 axfx当 0 x时，hx 0，所以 hx 0，所以 hx h0=0，即 fx综上，a 的取值围是 0，12函数 fx=x+1lnxx+1假设xf x x2+ax+1，求 a 的取值围；证明：x 1fx 0解：，xf x=xlnx+1，题设 xf x x2+ax+1 等价于 lnxxa.-优选令 g x=lnxx，那么，当 0 x1，g x 0；当 x1 时，g x 0，x=1 是 gx的最大值点，gx g1=1 综上，a 的取值围是 1，+由
19、知，gx g1=1 即 lnxx+10当 0 x1 时，fx=x+1lnxx+1=xlnx+lnxx+1 0；当 x1 时，fx=lnx+xlnxx+1=0 所以 x 1fx 013设函数 fx=x2+aln1+x有两个极值点x1、x2，且 x1x2，求 a 的取值围，并讨论fx的单调性；证明：fx2解：I，令 g x=2x2+2x+a，其对称轴为由题意知x1、x2是方程 gx=0 的两个均大于1 的不相等的实根，其充要条件为，得1当 x 1，x1时，fx 0，f x在 1，x1为增函数；2当 x x1，x2时，fx 0，fx在 x1，x2为减函数；3当 x x2，+时，fx 0，f x在 x
20、2，+为增函数；II由 Ig0=a0，a=2x22+2x2fx2=x22+aln1+x2=x22 2x22+2x2 ln1+x2设 h x=x2 2x2+2xln1+x，x0那么 hx=2x22x+1 ln 1+x 2x=22x+1ln1+x1当时，hx 0，hx在单调递增；2当 x 0，+时，hx 0，h x在 0，+单调递减故14函数 fx=x3+3x2+ax+be x1如 a=b=3，求 fx的单调区间；2假设 fx在，2，单调增加，在，2，+单调减少，证明：6解：当a=b=3 时，fx=x3+3x23x 3ex，故 f x=x3+3x23x3ex+3x2+6x3e x=exx39x=xx 3 x+3ex.-优选当 x 3 或 0 x3 时，f x 0；当 3x0 或 x3 时，f x 0从而 fx在，3，0，3单调增加，在3，0，3，+单调减少；f x=x3+3x2+ax+b ex+3x2+6x+aex=exx3+a6x+b a由条件得：f 2=0，即 23+2a6+ba=0，故 b=4a，从而 f x=e xx3+a6x+42a因为 f=f=0，所以 x3+a6x+42a=x2 xx=x2 x2+x+将右边展开，与左边比拟系数得，+=2，=a2故，又 2 2 0，即 2+40由此可得a 6于是 6