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1、2006 年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（二） 参考答案考试说明：1.考试时间为 150 分钟；2.满分为 150 分3.答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4.密封线左边各项要求填写清楚完整。一、一、 填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程。本填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程。本 题共有题共有 8 小题，小题，每小题每小题 5 分，共分，共 40 分。分。 ）1. 若 在连续，则3sin41,0( )0axxexf xxax0 x 1 .a 2. 曲线在处的切线方程为 .231xtyt 2t 37yx3. 设函数，则其导
2、数为 .sin(21)xyxsin2sin(21)cos ln(21)21xxyxxxx4. 4 .22(1cos )xx dx5. 设，则 .cos(sin )yxdy cos sin(sin )xxdx6. 曲线与直线，及轴所围成的图形绕轴旋转一周，所得旋转体lnyx1x 3x xx体积为 .(3ln32)7. 微分方程 的通解为 .450yyy212(cossin )xyeCxCx8. 若级数收敛，则的取值范围是 .3111nn23二、选择题：（本题二、选择题：（本题 5 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 4 分，共分，共 2020 分分. .每小题给出的每小题给出的 4 4 个选项
3、中，只有一个选项中，只有一项符合要求项符合要求. .）1（ B ）.limarctan1xxxx (A) (B) (C) 1 (D) 不存在222. 当时， 是比 的（ ）.0 x ( )sinf xxx2xA 高阶无穷小 等价无穷小 同阶无穷小 低阶无穷小( )A( )B( )C()D3. 级数 为（ ）.0cos1nnnB 绝对收敛 条件收敛 发散 无法判断( )A( )B( )C()D4.曲线与直线所围成的图形的面积是 （ ）.2yx1y C 2( )3A( )B34( )C43()D15.广义积分为（ ）.30(1)xdxxD 0 ( )1A( )B1( )2C()D12三、 计算题：
4、（计算题必须写出必要的解题过程，只写答案的不给分.本题共 10 个小题，每小题 6 分，共 60 分）.1.计算极限 .020tanlimxxtdtx解：解： （5 分）020tanlimxxtdtx0tanlim2xxx （6 分）122计算函数 的导数 .211xyxxy解解 1： 两边取对数，得 （1 分）11ln2lnln(1)ln(1)22yxxx 两边求导数 （4 分）2112(1)2(1)yyxxx 2211yyxx （6 分）2212111xxxxx解解 2： 由于，所以211ln2lnln(1) ln(1)12xxxxxxyee （4 分）12lnln(1) ln(1)221
5、112 11xxxyexxx （6 分）2212111xxxxx3 计算由隐函数 确定的函数 的微分.lnyexy( )yf xdy解：解： 方程两边关于求导数，把 看成的函数.xyx （3 分）lnyxyy eyy解得 （4 分）lnyyyyyex 所以函数的微分 （6 分）( )yf xlnyyydydxyex4.判别正项级数的敛散性.211ln(1)nnn解解 1： 由于，所以 （3 分）2211ln(1)nn322211ln(1)nnannnn已知级数收敛 （5 分）31213(1)2npn由比较判别法知级数 收敛. （6 分）211ln(1)nnn解解 2： 取，1 （4 分）321
6、nbn2232211ln(1)ln(1)limlimlim11nnnnnnannbnn 因为级数收敛 （5 分）3121nn 所以原级数收敛。 （6 分）211ln(1)nnn5. 计算不定积分 (1)dxxx解解 1： （4 分）(1)dxxx2()21()dxx （6 分）2arctanxC解解 2： 设 ，则，于是tx2xt2dxtdt （4 分）(1)dxxx22(1)tdttt =221dtt = （5 分）2arctantC = （6 分）2arctanxC6. 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.203nnnx解：解： 当 时， （2 分 ）0 x 12(1)2123limlim33
7、nnnnnnnnuxxux 所以当 ，即 时，幂级数 收敛；当 ，即231x 1|3x 203nnnx231x 时，幂级数 发散，所以幂级数的收敛半径 （3 分）1|3x 203nnnx13R 因此幂级数收敛区间为 （6 分）11(,)337.计算定积分 20sinxxdx解：解： 由于公式 ，所以21sin(1cos2 )2xx （2 分）20sinxxdx01(1cos2 )2xx dx 000111(cos2 )cos2222xxx dxxdxxxdx （ 3 分）201sin2044xxdx （5 分）20sin21sin20444xxxdx 21cos2048x （6 分）248.计
8、算微分方程 满足初始条件 的特解.22(1)(1)dyxydxyx(0)1y解：解： 分离变量得 （2 分）2211ydyxdxyx 两边积分 2211ydyxdxyx于是有22221(1)1(1)2121dydxyx 即 （4 分）22111ln(1)ln(1)222yxC 或 22ln(1)ln(1)yxC 将初始条件代入得 （5 分）(0)1yln2C 所求特解是 （6 分）2221yx9.计算函数 的二阶导数 .sin(ln )yxy解：解： （3 分）cos(ln )xyx （6 分）22sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )xxxxyxx 10. 将函数
9、展成的幂级数并指出收敛区间.lnyx(1)x 解：解： 因为 （1 分）lnln1(1)yxx 根据幂级数展开式 ， （2231ln(1)( 1)23nnxxxxxn 11x 分）于是 （5 分）231(1)(1)(1)ln(1)( 1)23nnxxxxxn 收敛区间是 （6 分）0, 2x四、综合题（本题四、综合题（本题 4 个小题，共个小题，共 30 分）分）1. 本题 7 分 设，证明不等式 0ab11(2,3,)()nnnnbaabnn ba证明：证明： 设， （ 2 分 ）( ),2nf xxn则 在闭区间上满足 Lagrange 定理条件， ( )f x , a b于是存在一点，使
10、 （3 分）( , )a b( )( )( )f bf afba即 （4 分）1nnnbanba因为且，所以 ， （5 分）2n ab111nnnab因此 ,从而. （7 分）11nnnnbananbba11()nnnnbaabn ba2本题 7 分设函数，求在区间上的最大值与最小值.220( )( )f xxf x dx( )f x0, 2解：解： 由于定积分是一确定的实数，设 （1 分）20( )f x dx20( )f x dxk对的等式两边积分有( )f x 2222000( )f x dxx dxkdx于是 （2 分）208( )23kf x dxk由上式解得 89k （3 分）28
11、( )9f xx令得驻点 （4 分）( )20fxx0 x 当时，恒有 ，表明在区间内严格增加， （5 分）(0, 2)x( )0fx( )f x(0, 2)所以 是函数在的最小值 （6 分）8(0)9f ( )f x0, 2 是函数在的最大值. （7 分）28(2)9f( )f x0, 23 3. 本题 8 分 设， （为实数）试问在什么范1sin,0( )0,0 xxf xxx围时（1）在点连续；( )f x0 x （2）在点可导.( )f x0 x 解：解： （1）当时，是时的无穷小量，而是有界变量， （2 分）0 x0 x 1sinx 所以当时， （3 分）0001lim( )lims
12、in0(0)xxf xxfx 即当时，在点连续。 （4 分）0( )f x0 x （2）当时，由导数定义及有界变量乘无穷小量是无穷小量，得1 （6 分）001sin( )(0)(0)limlimxxxf xfxfxx （7 分）101limsin0 xxx所以当时，在点可导. （8 分）1( )f x0 x 4本题 8 分 若函数，求.0( )() ( )xxf xxt f t dte( )f x解：解： 00( )( )( )xxxf xxf t dttf t dte上式两边关于求导数x， （1 分）0( )( )( )( )xxfxf t dtxf xxf xe0( )( )xxfxf t
13、 dte （ 2 分）( )( )xfxf xe记 ，则上式是二阶常系数非齐次微分方程 ，即 （I）( )yf xxyye的通解是，为任意常数。 （3 分）0yy*12xxyC eC e12,C C由于是的特征方程 的单根，所以设是方程 （I）的一10yy210r xyaxe个特解， 于是有 与 xxyaeaxe2xxyaeaxe将它们代入方程（I）得 （4 分）12a 于是方程（I）的通解为， （II）1212xxxyC eC exe这里为任意常数.12,C C从已知条件可求得，并代入方程（II） （5 分）(0)1f(0)1f 得1212(0)11(0)12fCCfCC解得 （7 分）1231,44CC所求函数 （8 分）311( )442xxxf xeexe