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1、2006年河南省一般高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号一二三四五六总分核分人分数得分评卷人一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数的定义域为 ，则 的定义域为 （ ） A. B. C. D. 解：.2.函数是 （ ）A奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解： .3. 当时，是的 （ ） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小 解： .4.极限 （ ）A. B. 2 C. 3 D. 5解：.5.设函
2、数，在处连续，则 常数 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：.6. 设函数在点处可导 ，则 （ ） A. B. C. D. -解：7. 若曲线上点处的切线与直线平行，则点的坐标（ ）A. （2，5） B. （-2，5） C. （1，2） D.（-1，2） 解： .8.设，则 （ ） A. B. C.- D. 解： .9.设，为正整数),则 （ ） A. B. C. D. 0解：. 10.曲线 （ ）A. 有一条程度渐近线，一条垂直渐近线 B. 有一条程度渐近线，两条垂直渐近线 C. 有两条程度渐近线，一条垂直渐近线， D. 有两条程度渐近线，两条垂直渐近线 解：.11.下列函数在给
3、定的区间上满意罗尔定理的条件是 （ ）A. B. C. D 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等.12. 函数在区间内 （ ）A. 单调递增且图像是凹的曲线 B. 单调递增且图像是凸的曲线 C. 单调递减且图像是凹的曲线 D. 单调递减且图像是凸的曲线 解： . 13.若，则 （ ） A. B. C. D. 解：. 14. 设为可导函数，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 解：. 15. 导数 （ ）A. B. 0 C. D. 解：是常数，所以 .16.下列广义积分收敛的是 （ ）A. B. C. D. 解：. 17.设区域D由所围成，则区域D的面积为 （ ）A. B.
4、C. D. 解：由定积分的几何意义可得D的面积为 .18. 若直线与平面平行，则常数A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解： .19.设，则偏导数为 （ ）A.2 B.1 C.-1 D.-2解： .20. 设方程确定了函数 ，则 = （ ）A. B. C. D. 解： 令21.设函数 ，则 （ ）A. B. C. D. 解：22.函数 在定义域上内 （ ） A.有极大值，无微小值 B. 无极大值，有微小值 C.有极大值，有微小值 D. 无极大值，无微小值解： 是极大值.23设D为圆周由围成的闭区域 ，则 （ ） A. B. 2 C.4 D. 16解：有二重积分的几何意义知：区域D的面积为.2
5、4.交换二次积分，常数）的积分次序后可化为 （ ）A. B. C. D. 解： 积分区域25.若二重积分，则积分区域D为 A. B. 得分评卷人C. D. 解：在极坐标下积分区域可表示为：，在直角坐标系下边界方程为，积分区域为右半圆域26.设为直线上从点到的直线段,则 （ ）A. 2 B.1 C. -1 D. -2解： 从1变到0，.27.下列级数中，确定收敛的是 （ ）A B C D 解： 收敛.28. 设幂级数为常数），在点处收敛，则 A. 确定收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定解：在收敛，则在确定收敛，即级数确定收敛. 29. 微分方程的通解为 （ ） A. B. C.
6、 D. 解：30.微分方程的特解用特定系数法可设为 （ ）A. B. C. D. 解：-1不是微分方程的特征根，为一次多项式，可设 .二、填空题（每小题2分，共30分）31.设函数 则_.解：.32.=_.解： 33.设函数，则_.解： .34.设函数在处获得微小值-2，则常数分别为_.解：.35.曲线的拐点为 _.解： .36.设函数均可微，且同为某函数的原函数，有 则_.解：. 37. _.解：.38.设函数 ，则 _.解： .39. 向量的夹角为_.解： . 40.曲线绕轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _. 解：把中的换成，即得所求曲面方程.41.设函数 ，则 _.解： .42.设区域
7、，则.解： . 43. 函数在 处绽开的幂级数是. 解： .44.幂级数的与函数为 _.解：,45.通解为（为随意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为_.解：得分评卷人三、计算题（每小题5分，共40分）46计算 .解： 47.求函数的导数.解：取对数得 ：，两边对求导得：所以48.求不定积分 .解： 49.计算定积分. 解：50.设 ，其中皆可微，求 .解：51计算二重积分，其中由所围成.解：积分区域如图06-1所示，xyo12图06-1可表示为：. 所以 52求幂级数的收敛区间（不考虑区间端点的状况）.解： 令，级数化为 ，这是不缺项的标准的幂级数.因为 ，故级数的收敛半径，即级数收敛区间为
8、（-3，3）.对级数有，即.故所求级数的收敛区间为.53求微分方程 通解.解：微分方程可化为 ，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程通解为.设非齐次线性微分方程的通解为，则，代入方程得故所求方程的通解为.得分评卷人四、应用题（每小题7分，共计14分）54. 某公司的甲、乙两厂消费同一种产品，月产量分别为千件；甲厂月消费本钱是（千元），乙厂月消费本钱是（千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总本钱最小，求甲、乙两厂最优产量与相应最小本钱.解：由题意可知：总本钱，约束条件为.问题转化为在条件下求总本钱的最小值 .把代入目的函数得 的整数）.则，令得唯一驻点为，此时有.故 是唯一极值点且为微小值，即最小值点.此时有.所以 甲、乙两厂最优产量分别为5千件与3千件，最低本钱为38千元.55.由曲线与轴所围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.解：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X型区域绕轴旋转一周而得到。利用体积公式.明显，抛物线与两交点分别为（1，0）、（2，0）,平面图形在轴的下方.xyO 12图06-2故 得分评卷人五、证明题（6分）56.设在（，为常数）上连续， 证明： 并计算. 证明：因为，而，故即有 . 利用上述公式有第 11 页