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1、 2006 年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（一） 参考答案一填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有 8 个空格，个空格，每一个空格每一个空格 5 分，共分，共 40 分）分）1。lim2355nnnnn2函数的间断点是。2268( )(23)(5)xxf xxxx3x 3若在处连续，则1( 11), 0( ), 0 xxxf xxAx0 x 1A 4 。设，则。2ln(1)yxxx22ln(1)1dyxxxdxx5 3 22 2(1)cos 1 sin2xxdxx6设，交换积分次序后2 1 2 2 0
2、 0 1 0( , )( , )xx xIdxf x y dydxf x y dy。(超纲超纲,去掉去掉)22 1 1+ 1-y 0 y( , )Idyf x y dx7已知则。arctan(),zxy221ydxxdydzx y8微分方程的通解为，其中为任意常数。2(21)xx ydyxedx y 2ln()xxeCC二二选择题：（本题共有选择题：（本题共有 5 个小题，每一个小题个小题，每一个小题 4 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项分，在每小题给出的选项中，只有一项符合要求）中，只有一项符合要求）1 函数的定义域为，则函数的定义域是( )f x0,111()()55f xf x
3、 C 。， 。， A1 4,5 5 B1 6,5 5 。 ， 。 C1 4,5 5 D0,12当时，与不是等价无穷小量的是 0 x x D 。， 。， A2sin xx B2sinxx。， 。 C3tan xx Dsin xx3设，其中，则下面结论中正确的是 0( )( )xF xf t dt2,01( )1,12xxf xx D 。 。 A31,01( )3, 12xxF xxx B311,01( )33, 12xxF xxx。 。 C31,01( )31,12xxF xxx D31,013( )2,123xxF xxx4曲线与轴所围图形的面积可表示为 (1)(2),(02)yx xxxx
4、C 。， A 2 0(1)(2)x xx dx。， B 1 2 0 1(1)(2)(1)(2)x xx dxx xx dx。 C 1 2 0 1(1)(2)(1)(2)x xx dxx xx dx。 D 2 0(1)(2)x xx dx5设为非零向量，且，则必有 , a b a b B 。， 。， Aabab Babab。 。 Cabab Dabab三三计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分，本题有计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分，本题有 10 个小个小题，每小题题，每小题 7 分，共分，共 70 分）分）1计算。123lim()6xxxx解：= 分1
5、23lim()6xxxx631 ( ) ()3623lim(1)6xxxxx3 又因为 分6 33lim(1)6xxex5 分313lim() ()622xxx 6所以=。 分123lim()6xxxx3 2e72设，求。cos(ln )sin(ln )yxxxdydx解； 分11cos(ln )sin(ln ) sin(ln )cos(ln )dyxxxxxdxxx4 = 分2cos ln x73设函数 ，求。2222cossinttxetyet dydx解： 2 分2222cos2sin costtdxetettdt 4 分2222sin2sin costtdyetettdt 7 分sin
6、tcost-tcossintcosttsindxdy224计算不定积分.221sincosdxxx解： 3 分2222221sincossincossincosxxdxdxxxxx = 7 分2211cottansincosdxxx Cxx 5计算定积分。 1 0 xxdxee解： 3 分 1 12 0 01xxxxdxedxeee = 5 分 12 0()1 ()xxd edxe =。 7 分 1 0arctanarctan4xee6求微分方程满足的特解。22322xd ydyyedxdx001,0,xxdyydx解：微分方程对应的特征方程为22322xd ydyyedxdx 2320(1)
7、(2)0rrrr特征根为 1 分121,2rr而，所以为单根， 2 分111r对应的齐次方程的通解为 3 分212xxYC eC e非齐次方程的通解为代入原方程得 4 分*xyCxe2C 有通解 5 分2122xxxyC eC exe有000,1xxdyydx12121210,1220CCCCCC有解 7 分22xxyexe7求过直线 ，且垂直于已知平面的平面方程。321023220 xyzxyz 2350 xyz解：通过直线的平面束方程为321023220 xyzxyz 即321(2322)0 xyzxyz 3 分(32 )(23 )( 12 )( 12 )0 xyz 要求与平面垂直，则必须
8、2350 xyz1 (32 )2 (23 )3 ( 12 )0 6 分4202 所求平面方程为 7 分8550 xyz8将函数展开成的幂级数，并指出收敛半径。2( )ln(32)f xxxx解： 2 分( )ln(1)(2)ln(1)ln(2)f xxxxx = 3 分ln2ln(1)ln(1)2xx =110011ln2( 1)( )( 1)1 21nnnnnnxxnn = 6 分1110112ln2( 1)()12nnnnnxn 收敛半径 7 分1R 9计算，其中由直线和双曲线所围成的封闭图形。22DxIdxdyyD2,xyx1xy (超纲超纲,去掉去掉)解： 3 分22 2 x122 1
9、 xDxxIdxdydxdyyy = 5 分 2 2231 1 11()()xxxdxxx dxy = 7 分42219()424xx10当为何值时，抛物线与三直线所围成的图形面积最小，a2yx,1,0 xa xay求将此图形绕轴旋转一周所得到的几何体的体积。x解：设所围面积为( )S a 2 分3312(1)( )3aaaaS ax dx 22( )(1)21S aaaa令 3 分1( )02S aa ，所以为最小的面积 4 分( )20S a 11()212S 7 分11122212 2450 - 022580 xVy dxx dxx四；综合题：（本题有 3 小题，共 20 分）1 （本题
10、 8 分）设函数在上连续，且，证明方程( )f t0,1( )1f x 在内有且仅有一实根。 x 02( )1xf t dt(0,1)证明：令， 则在上连续， 2 分 0( )2( )1xF xxf t dt0,1( )F x， 4 分 1 1 0 0(0)10,(1)2( )11( )0FFf t dtf t dt 由闭区间上连续函数的介值定理知道在内至少存在一点，使得(0,1)C( )0F C 5 分又因为，所以单调上升，在内最多有一( )2( )10F xf x ( )F x( )0F x 0,1个根，所以在内有且仅有一个实根。 7 分 x 02( )1xf t dt0,12 （本题 7
11、 分）证明：若，则。0,0,0mna()()mnmnm nm nm nxaxamn证明：令 2 分( )()mnF xxax111111( )()()() ()()() mnmnmnmnF xmxaxnxaxxaxm axnxxaxmamn x令， （当时，此时( )0maF xxmn,1m n 0,xxa(0)( )0)FF a 211()(1)()()2()()mnmnmamanamanaFm mmnmnmnmnmnmn + 5 分11223(1)() ()0()nnm nmnm nmanamnan nmnmnmn 所以是在上的极大值，有唯一性定理知：是最大()maFmn( )F x, ()maFmn值，故 7 分( )()()mnm nm nmam nF xFamnmn3 （本题 5 分）设是连续函数，求积分的值。( )f x 2 0(sin )(sin )(cos )fxIdxfxfx解： 令,2xt dxdt 22 0 0(sin )(cos )(sin )(cos )(sin )(cos )fxfxIdxdxfxfxfxfx.2 0 (sin )(cos )2(sin )(cos )24fxfxIdxIfxfx