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1、专升本高等数学精选练习强化试卷 18一、一、 填空题填空题1设为非零向量，且，则cba , ,cba acb bac cba 。 3 解：显然互相垂直。cba , , ，同理，cbcbcbcba ),sin( cab bac，又，2 bababcba0a，同理可证，故。1 1 2bb1 1,ca3 cba2，则。2)( cba)()()( accbba 4 解：)()()( )()()( accbbcbaaccbba )(accbbbcaba)()()()()()(accbaccaacba acbccbacaccaabacba)()()()()()( 。4)(2)()(cbaacbcba3已知
2、三角形，则的面积。) 1 , 1 , 1 (A)4 , 3 , 2(B)2 , 3 , 4(CABCS 62 解：，3 , 2 , 1AB1 , 2 , 3AC4 , 8 , 4123321kjiACAB. 62)4(8)4(2121222ACABS4设一平面过原点及，且与平面垂直，)2 , 3 , 6(A824zyx则此平面方程为。0322zyx解：，已知平面的法向量为，2 , 3 , 6OA2 , 1 , 4n则所求平面的法向量为，3 , 2 , 226 , 4 , 42 , 1 , 42 , 3 , 61nOAn故所求平面的方程为，即。0)0( 3)0(2)0(2zyx0322zyx5已
3、知直线和，则过且平行于的平130211 :1zyxL11121 :2zyxL1L2L面方程为。023zyx解：所求平面的法向量， 点1 , 3 , 11121011 , 1 , 21 , 0 , 1kjin，1) 3 , 2 , 1 (LM故所求平面方程为，即。0) 3(1)2( 3) 1(1zyx023zyx6点到直线：的距离。 )2 , 1, 3( PL43 , 23 , 1tztyxd223解：直线的方向向量，L3 , 3 , 0aLA)4 , 2 , 1 (2 , 3 , 2PA ，。6, 6, 3 aPA9aPA223239aaPAd二、二、 选择题选择题1下列命题正确的是（ C C
4、 ）（A）； （B）；)( )()( )( bbaabababbbaaababa2)()( （C）； （D）。0)( (babaa)()( cbacba解：（A）：左边，右边；2),(cos()( )( babababa22ba（B）：左边，右边；0ba2（C）：。0)( ()()( (baabababaa（D）：与同向；与同向。cba)( c )(cbaa2两直线与的夹角为（ D D ） 。182511 :1zyxL. 32, 6 :2zyyxL（A）； （B）； （C）；（D）。 6 4 2 3 解：、的方向向量分别为，1L2L1 , 2 , 11a.2 , 1 , 11 , 2 , 00
5、 , 1 , 12a ，。21663 cos2121aaaa 33直线与（ D D ）41322 :1zyxL.7,41,33 :2tztytxL（A）垂直； （B）平行； （C）相交；（D）异面但不垂直。解：，4 , 3 , 21a1 , 4 , 32a ，与不垂直也不平行。0221aa1a2a ，11) 1 , 0 , 2(LM22)7 , 1 , 3(LM6 , 1 , 521MM，与异面，且不垂直。017143432615 2121aaMM1L2L4直线与平面的关系为（ A ）37423 :zyxL3224 :zyx（A）平行，但直线不在平面上；（B）直线在平面上；（C）垂直相交；（D
6、）相交但不垂直。解：的方向向量为，平面的法向量为，L3 , 7 , 2a2 , 2 , 4n，06148na, na又，但，但。LM)0 , 4 , 3(MLL三、解答题三、解答题1求过点，与已知平面平行，且与直线) 3 , 2 , 1(M010326 :zyx相交的直线 L 的方程。. 0436, 03 :1zyxzyxL解法 1：直线 L 的方程为，方向向量为，nzmylx321 , ,nmla平面的法向量为，3 , 2 , 6n ，得，Lna0326nml直线的方向向量为1L.5 , 2 , 33 , 6 , 11 , 1 , 11a，LM) 3 , 2 , 1(11) 3 , 1 ,
7、1 (LM6 , 3 , 21MM与相交，L1L，013283632523 11nmlnmlMMaa由，.2,32. 013283, 0326mnmlnmlnml6 : 3 : 2 : : nml所求直线 L 的方程为。633221zyx解法 2：设所求直线 L 与直线的交点为，则1L) , ,(1zyxM ，即为直线 L 的方向向量，它必与平面的法向量3 , 2 , 11zyxMM垂直，于是得3 , 2 , 6n . 3, 1 , 10) 3( 3 2)( 2) 1(6 , 43 6 , 3 zyxzyxzyxzyx，L 的方程为。6 , 3 , 21MM633221zyx2一平面过直线且与
8、直线之间的夹角为，求01062 ：1zyxyxLtztytxL2321 ：26该平面方程。解：设过的平面束方程为，1L0) 1()62( :zyxyx即，其法向量为，0)6 ( )2 ()1 (zyx , 2 ,1n 的方向向量，2L 2 , 1 , 1n则，6)2()1 (14 ) ,cos(6sin222ananan化简得，或，0131023212313故所求平面方程为或。072 :zyx0125135901 zyx3求点关于平面：的对称点的坐标。) 1 , 1 , 3(A096926zyx解：过点 A 垂直于平面的直线方程为，其参数方程为912163zyx ，代入平面的方程，得tx63t
9、y21tz91 ，。096)91(9)21(2)63(6ttt0221221t1t 交点（即投影点）为。)8 , 3 , 3(C设所求的对称点为，则点 C 为线段 AB 的中点，有) , ,(zyxB ，。323x321y821z9x5y17z所求的点为。 )71 , 5 , 9(B4求过直线 L：且球面相切的平面方.2089, 827 zyxzyx21) 1() 1(222zyx程。解：过直线 L 的平面束方程为，0)2089(827zyxzyx即，0820)28() 19()7(zyx令球心到平面束的距离为，得，)0 , 1, 1 ( 2121)28() 19()7(820197222 ，
10、解得，代入平面束方程21541461021当时，得，即；10286108zyx07354zyx当时，得，即。10121086zyx06543zyx5已知入射线，求该光线经过平面：反123141 :zyxL01752zyx射后的反射线的方程。1L解法 1：将直线 L 的参数方程，代入平面的方程：tx41ty31tz2，017)2( 5)31 (241ttt03015t2t得入射线 L 与平面的交点。)0 , 5, 7(P设入射线 L 与反射线的方向向量分别为与，平面的法向量1L1 , 3 , 4a1a为，取，则。 5 , 2 , 1n1aa naa1，15 , 32 , 41 , 3 , 45
11、,2 ,1ana，26263030) 15() 32()4(22221aa得，。，又，03030214 , 1 , 31a)0 , 5, 7(PL反射线的方程为，即。41537:1zyxL41537:1zyxL解法 2：先求 L 与平面的交点 P，)0 , 5, 7(PL过点作与平面垂直的直线，)2 , 1 , 1 (1M)(522111:2zyxL将直线的参数方程代入平面的方程，得2Ltztytx52 ,21 ,1，垂足为。017)52( 5)21 (21ttt1t) 3 , 1, 0(Q设关于平面的对称点为，则为线段)2 , 1 , 1 (1M) , ,(2zyxM) 3 , 1, 0(Q21MM的中点，322 , 121 , 021zyx8 , 3 , 1zyx。)8 , 3 , 1(2M过点和点的直线即为反射线，)0 , 5, 7(P)8 , 3 , 1(2M1L ：，即。1L82567zyx42537zyx