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1、专升本高等数学精选练习强化试卷 09一、一、选择题选择题1设函数在上连续,则等于( B B ))(xf),()(dxxfd (A); (B); (C); (D)。)(xfdxxf)(Cxf)(dxxf)( 2若,则的原函数之一是( B B )xxfsin)()(xf (A); (B); (C); (D)。xsin1xsin1xcos1xcos1解:设是的一个原函数,)(xF)(xf ,xxfsin)(1cos)(Cxxf,当时,。21sin)()(CxCxdxxfxF1 , 021CCxxFsin1)(3下列结论正确的是( B B ) (A); (B);baxfdxxfdxd)()(xaxfd
2、xxfdxd)()( (C); (D)。baxfdxxf)()(cxfdxxfba)()(4.设在区间上,,ba0)(xf0)( xf0)( xfbadxxfS)(1 ;,则必有( B B ).)(2abbfS)()(23bfafabS (A);(B);(C);(D)321SSS312SSS213SSS。132SSS5设,110)1ln()(xdttxf1)(xexgx 则当时,是的( B B )0 x)(xf)(xg (A)等价无穷小; (B)同阶但非等价无穷小; (C)低阶无穷小; (D)高阶无穷小。解:11211lnlim1)1ln(lim)()(lim011000 xxxxxxexxx
3、edttxgxf , 应选(B) 。41lim411)1ln(lim141lim000 xxexxxxxx6方程在区间内( A A )xdttxxcos104) , 0( (A)有且仅有一个实根; (B)有且仅有两个实根; (C)有无穷个个根; (D)无实根。解:设,xdttxxfxcos1)(04) , 0()(Cxf ,且, 1 , 0)(Cxf1)0(f01cos11) 1 (104dttf ,即方程在内有一个根,1) , 0(0)( f0)(xf1) , 0( ,在内单调增加,0sin121)(4xxxxf)(xf) , 0( 在内有且仅有一个实根。0)(xf) , 0(二、计算题二、
4、计算题1,求。tuduux 1 ln2 2lntuduuy22 ,dyxddydx解:,。tttttdydx1lnln2tttttdyxdln1ln1422222设,求。0sin12dtexxyt022xdxyd解: 时,。0 x1y ,。0) 1(cos2)(dxdyexxy2)(cos1xyxedxdyedxdyx10 , 。) 1()(2cossin2)(2)(22dxdyxyexxedxydxyxy20222edxydx3设,求,.21 ,210 ,)(2xxxxxfxdttfxF0)()(20 x解:时, 1 , 0 x302031)()(xdttdttfxFxx 时,2 , 1 (
5、xxxdttfdttfdttfxF1100)()()()(。2267232231)2(221102xxxxdttdttx. 21 ,2267, 10 ,31)(23xxxxxxF4求。dttxdxdx20 2 cos 解: cos cos22 0 20 2 dttxdxddttxdxdxx2cos cos422 0 xxxdttx 。4220 cos2 cos2xxdttx5)41241141(lim22222nnnnn解:)41241141(lim22222nnnnn)41241141(1lim22222nnnnnn。dxxninin1021241)(41lim62arcsin10 x6设,
6、其中有连续导数,且,0 , 0 ,)()(20 xCxxdtttfxFx)(xf0)0(f(1)求使在连续;(2)求。C)(xF0 x)(xF解:,0)0(212)(lim)(lim)(lim02000fxxxfxdtttfxFCxxxx 当时,0 x4 0 32 0 )(2)()()(xdtttfxxfxxdtttfxFxx3 0 2)(2)(xdtttfxfxx 。3)0(3)(lim3)(lim3)(lim)(lim)0()(lim)0(00203 0 00fxfxxfxxxfxdtttfxFxFFxxxxxx三、证明题三、证明题1证明下列不等式:.22sin2124dxxx证明证明:则
7、,,sin)(xxxf2 ,4)(Cxf),tan1 (cossincos)(2xxxxxxxxxf 当时,)2 ,4(x0cosxx0tan1xx 当时,在上单减。)2 ,4(x0)( xf)(xf2 ,4 。是最小值是最大值2)2( ,22)4(ff 由估值定理得 ,即)42(22sin)42(224dxxx.22sin2124dxxx2设在上连续,在内可导,且,)(xf,ba),(baMxf)(0)(af 试证。2 )(2abMf(x)dxba 证法 1:,由中值定理,可得,baxLagrange,)()()()()(faxafxfxf),(ba ,)()()()(axMfaxxfbab
8、 abadxaxMdxxfdxxf )()()(.)(2)(2122abMaxMba证法 2:设,由,得,,bax0)(af)()()()(xfafxfdttfxa,xaxaxaaxMMdtdttfdttfxf)()()()(bab abadxaxMdxxfdxxf )()()(.)(2)(2122abMaxMba3设函数在上连续,在内可导,且满足)(xf 1 , 0) 1 , 0( ,) 1( )() 1 (1 10kdxxfxekfkx证明至少存在一点,使得。 ) 1 , 0()()11 ()(ff证明:设,则)()(1xfxexFx ,)()()()(111xfxexfxexfexFxx
9、x)()()(1xf xxxfxfex 在上连续,)(xf 1 , 01k 在上连续,由积分中值定理得,)(xF1 , 0k)(1)() 1 (1CfCekCkFfC 在上连续,在内可导,且,)(xF 1 ,C) 1 ,(C) 1 () 1 ()(FfCF 由罗尔定理知,即,) 1 ,(C0)(F0)()()(1fffe ,从而。01e0)()()(fff)()11 ()(ff4.设,试证施瓦茨不等式连续在,)( ),(baxgxf)(Schwarz 。bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(222证明:设,badxxf)(2badxxg)(2badxxgxf)()(考虑积分,显然,badxxgxfI2)()(0 ,IR把此积分展开得,022I此不等式成立的条件是,即,04)2(22从而。bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(2225设上连续可导,试证。 1 , 0)(在xf1)0() 1 ( ff1021)(dxxf证明:利用柯西不等式, 2102)()0() 1 (1dxxfffdxxfdxxfdx102102102)()(1