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1、专升本高等数学精选练习强化试卷 07一、选择题选择题1若，则为（C）0)(6sinlim30 xxxfxx20)(6limxxfx （A）0；（B）6；（C）36；（D）。解：3020)(6lim)(6limxxxfxxxfxx306sin)(6sin6limxxxxfxxx 30306sin)(lim6sin6limxxxxfxxxxx203036cos66lim6sin6lim00 xxxxxxx 。363)6(3lim220 xxx2设，则（A）2)()1ln(lim220 xbxaxxx（A）；（B）；（C）；（D）25 ,1ba2 ,0ba25 ,0ba。2 ,1ba解：，xbxax
2、xbxaxxxx2211lim)()1ln(lim2000220 由此可见；01)211(lim0abxaxx1a。xbxxxbxaxxax22111lim2211lim20 1 022122)1(1lim2000bbxx25b二、填空题二、填空题1。)21ln(arctanlim30 xxxx61解：。3000302arctanlim)21ln(arctanlimxxxxxxxx61)1(61lim6111lim2022000 xxxxx2。20)1ln(sin1tan1limxxxxxx21解：原式sin1tan11)1ln(sintanlim2000 xxxxxxxxxxxxxxxxxx
3、xx)1ln()cos1(tanlim21)1ln()cos1(tanlim21020 。21)1(lim21111lim21)1ln(21lim21002000 xxxxxxxxx3。)24(tanlimnnn4e解：这是数列的极限，不能直接利用洛必达法则。解：设，则。)24tan(ln)24(tan)(xxxexxf),0(x)24tan(lnlim)24tan(lnlim)(limxxxxxxxeexf，xxxxxx1)24tan(lnlim)24tan(lnlim)24(cos)24tan(12lim222xxxxx 。)24(cos)24tan(2lim2xxx4)22(122，。4
4、)24tan(lnlim)(limeexfxxxx4)24(tanlimennn4带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为处在 0 1)(2xexfx。)0 ()21()(222之间与在xxexf解：，2)(2xxexf)21(2)(22xexfx，0)0(f 0)0(f，即，。2!2)()0()0()(xfxffxf 222)21()(xexf之间与在 0 x三、求下列极限三、求下列极限1.xxexx630sin1lim3解:（方法方法 1）6306301limsin1lim33xxexxexxxx5220633lim3xxexxx。2163lim21lim2203033xexxexxxx（方法方法
5、2 2）。6366306301)(211limsin1lim3xxxoxxxxexxx21)(21lim6660 xxoxx220211limxxxx解：，)(81211122xoxxx)(81211122xoxxx 。41)(41lim211lim222020 xxoxxxxxx3).cot1(lim220 xxx解：xxxxxxxxx222220220sincossinlim)cot1(lim4042220)cos)(sincos(sinlimcossinlimxxxxxxxxxxxxx 300cossinlimcossinlimxxxxxxxxxx2003sincoscoslim)cos
6、sin(limxxxxxxxxxx。323sinlim220 xxxx四、解答题四、解答题1.设，且当时，又，求。2)0(f0 x0)(xf0)(lim0 xxfxxxxxf10)(1 lim 解：，连续。2)0(f处在点 0 )(xxf ，。0)(lim0 xxfx0)0()(lim0fxfx0)(lim0)0()(lim)0(00 xxfxfxffxx，2)(0lim2)()(010)(1lim)(1 limxxfxxxfxfxxxxexxfxxf而。1221)0(210)0()(lim212)(lim)(lim0020 fxfxfxxfxxfxxx.)(1(lim10exxfxx2求在带
7、皮亚诺余项的和。)1ln()(2xxxf处0 x阶泰勒公式 n)0()(nf解：)(2)1(432)1ln()(22343222nnnxonxxxxxxxxxf ，)(2)1(43236543nnnxonxxxxx又，)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 比较，有，故。的系数nx2)1(!)0(3)(nnfnn2!)1()0(3)(nnfnn五、证明题五、证明题1设，且，证明：。1)(lim0 xxfx0)(xfxxf)(证明：证明：，二阶可导，从而连续，0)(xf)(xf)(xf ，0)(lim)(lim)0(00 xxxfxffxx1)(lim0)0(
8、)(lim)0(00 xxfxfxffxx由泰勒公式得，介于与之间。22!2)(!2)()0()0()(xfxxfxffxf 0 x ，。0)(xf0)(fxxf)(2设在上具有三阶连续导数，且，)(xf 1 ,10)1(f1)1(f0)0(f证明，使得。)1 ,1(3)(f证明证明：，可选择在点展开。0)0(f0 x（在与之间）。32!3)(!2)0()0()0()(xfxfxffxf 0 x ，0)1(f1)1(f 在中令和，得1x1x （）6)()0(21)0()1(01 ffff011 （）6)()0(21)0()1(12 ffff102 -得，)()(61112 ff从而 6)()(
9、21 ff 在上连续，在上连续，)(xf 1 ,1)(xf ,21 从而在上必有最大值和最小值，)(xf ,21Mm ，Mffm )()(2112 再由介值定理，使得。)1 ,1(,21)()(21)(12 fff由得 。3)(f3设连续，证明：对，有axxf )(在中的)()()(haf hafhaf。21lim0h证明：由微分中值定理得，)1(0 )()()(11 haf hafhaf故)()()()(1haf hafhafhaf 即 )()()()(12hafhaf hafhaf 又由泰勒公式知：)1(0 )(!2)()()(222 hafhaf hafhaf由、得，)(!2)(2212hafhhafh ，)()(2112hafhaf 连续，axxf )(在。21)()(21)(lim)(21limlim10200 afafhafhafhhh