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1、专升本高等数学精选练习强化试卷 05一、选择题一、选择题1设函数可导，当自变量x在处取得增量时，)(uf)(2xfy1x1 . 0 x相应的函数增量的线性主部为，则（ D D ）y1 . 0 ) 1 (f （A）； （B）； （C） ； （D）。11 . 015 . 0解：，1 . 0121 . 01)(21 . 0 xxxxxxf xdy) 1 (2 . 0) 1 . 0)(1 () 1(2ff。5 . 021) 1 ( f2设，则使存在的最高阶导数的阶数n为（ C C ）xxxxf233)()0()(nf （A）0； （B）1； （C）2； （D）3。 解：，0,20,4)(33xxxxx
2、f ，从而不存在。故选（C） 。0)0()0( ff12)0(24)0( ff)0(f 二、求相关变化率二、求相关变化率1落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是，问 2 秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？sm/6解：设圆的半径为R，圆的面积为S，则，2RSdtdRRdtdS2 当时，故.2t1226R6dtdR)/(144612222smdtdSt2溶液从深 15cm，顶直径 12cm的正圆锥形漏斗漏入一直径为 10cm的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为 12cm时，其液面下降的速率为。问这时圆柱形容器中液面上升的速率是多少？min1c
3、m( (教材教材P P136136 第第 1010 题题) )解：设在时刻t漏斗中溶液的深度为，液面半径为r，圆柱形容器中溶液)(1th的深度为。由，得，)(2th1561hr521hr依题意 ，2212253115631hhr 即，2231252543115631hh 从而，dtdhdtdhh212125254 又当时，得。121h11dtdhdtdh222512254)(92. 0625576min2cmdtdh 答：圆柱形容器中液面上升的速率为。min92. 0cm2. 一飞机在离地面的高度，以的速度飞行到某目标上空，以便进km2hkm/200行航空摄影，试求飞机飞到该目标正上方时，摄影
4、机转动的角速度。解：设飞机与目标的水平距离为.kmx ，2cotx2cotxarc ，dtdxxdtd21)2(112 把，代入上式，得:0 xhkmdtdx/200 。)/(361)/(100)200(211sradhraddtd二、填空题二、填空题1设，则 。ttyttxsincos22dxyd32)sin(cos2tttt解：，。ttttttdxdysincoscossin3222)sin(cos2)sincoscossin(ttttdxdtttttttdxydt2设，其中，.22tan)(cosxxfy可导 fdxdy 则222sec2)(cos2sinxxxxfxyoxx2r1h2h
5、3已知函数由方程确定，则 -2 。)(xyy0162xxyey )0(y解：当时，。0 x0)0(y ，0266xyxyyey0)0( , 0 yx0)0( y 。02666 yxyyyeyyeyy0)0(0)0( , 0yyx2)0( y4. 设，则。1)(22xxxf)()(xfn) 1(1) 1(1 !) 1(2111nnnxxn解：，)1111(2111111)(222xxxxxxf 。) 1(1) 1(1 !) 1(21)(11)(nnnnxxnxf5设，则。)1ln()(2xxxf)0()(nf2!) 1(1nnn解：，xxnxxxfnnn2)1ln()1ln()() 1(2)()
6、(2)1ln(2) 1()2(nxnn ，nnnxnx)1 ()!1() 1()1ln(1)( 故，1221)()1 ()!2() 1(2)1 ()!1() 1()(nnnnnxnnxxxnxf23)1 ()!3() 1() 1(nnxnnn.2!) 1()!3)(1() 1()0(13)(nnnnnfnnn三、求下列函数的导数三、求下列函数的导数dxdy1)( xfexy解：，xeyxflnln)( ，xexxfeyyxfxf1ln) 1()(1)()(。ln)(1)()(xxfxexyxfxfe2.212cot21xxarcy解：)12()12(1121222xxxxdxdy2222222
7、)1 ()2(2)1 (2)1 ()1 (21xxxxxx。2222222211)1 ()1 (2)1 ()1 (21xxxxx3xaaaxaaaxy解：)(ln)(ln1xxaaaxaaaaaaxaaxay aaaaaxaaxaxxaaaxaaalnlnln114已知，求.xxeyxsin1ln)2( y解：xxeyxsinln21ln21)1ln(41，。xxexxxeeyxxxcot2121) 1(41sin2cos21)1 (41) 1(41)2(2ey5xyxxeysin 解：xxyxeeylnsin ， )1sinln(cos)1 (lnsinxxxxedxdyedxdyxxyx
8、，)1sinln(cos)1 (lnsinxxxxeedxdyexxyxyx 。 yxxyxexxxxxedxdy1)sinln(cossin6已知，求。 sin)cos2tan(lntayttax)t0 , 0(adxdy解：， dtttadtttadxsincos)sinsin1(2tdtadycos。 tdtttatdtadxdytansincoscos2四、求高阶导数四、求高阶导数1设，其中f具有二阶导数，。)(sin2xfy22 dxyd求解：)(cos)(222xfxf xdxdy )(sin)(4)(cos)(4)(cos)(222222222222xfxfxxfxfxxfxfd
9、xyd 2设，求。4cos) 1()(2xxxxfnn) 1 ()(nf解：!22!41cos1) 1 (2)(nnfnn3已知xxy5cos3sin2，求。)(ny解：，xxxxxy5cos6cos215cos215cos26cos1xxxcos4111cos415cos21。)2cos(41)211cos(1141)25cos(521)(nxnxnxynnn4已知（k为正常数） ，讨论为何值时存在二阶导数0 , 00,1sin)(xxxxxfkk。)0(f 解： ，xxxxxxfxffkxkxx1sinlim1sinlim0)0()(lim)0(1000要使存在，必须。且当时，。)0(f
10、1k1k0)0( f当时，0 xxxxkxxfkk1cos1sin)(21（） ，0 , 0 0 ,1cos1sin)(21xxxxxkxxfkk1kxxxxkxxfxffkkxx1cos1sinlim0)0()(lim)0(2100 ,1cos1sinlim320 xxxkxkkx要使存在，必须。)0(f 3k五、证明题五、证明题证明方程，并求。内必有唯一在) 1 , 0( 0121xxxxnnnx实数根nnxlim证明：设，则。1)(21xxxxxfnn 1 , 0)(Cxf，01)0(f01) 1 (nf由零点定理知，) 1 , 0(nx0)(nxf故方程。内至少有一实数根在) 1 , 0( 0)(xf，)0( 012) 1()(21xxxnnxxfnn在，方程，严格单调增加内)( ) 1 , 0(xf内至多有一实数根在) 1 , 0( 0)(xf故方程。内有唯一的实数根在) 1 , 0( 0)(xf，设。10nx0)(limnnnxaxnnlim由， 0121nnnnnnxxxx得， 1) 1(21nnnnnnxxxx 11)(1nnnnxxx 对上式两边取极限得：，即。2111aaa21limnnx